Desenhe as linhas de campo elétrico para, e use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico para: uma esfera sólida de raio e carregada uniformemente com densidade volumétrica .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico usando a Lei de Gauss. A gente tem uma esfera sólida de raio com carga distribuída uniformemente, ou seja, com densidade volumétrica . Nosso objetivo é desenhar as linhas de campo elétrico dessa esfera e determinar a expressão do campo elétrico tanto dentro quanto fora da esfera usando a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre como as linhas de campo elétrico se comportam para uma esfera carregada uniformemente. Como a carga está distribuída de forma simétrica, as linhas de campo vão sair radialmente da superfície da esfera e entrar radialmente nela. Isso significa que as linhas são sempre perpendiculares à superfície da esfera e apontam para fora se a carga for positiva ou para dentro se for negativa.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico. A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica . A fórmula é:
Onde:
  • é o campo elétrico,
  • é um elemento de área da superfície gaussiana,
  • é a carga total dentro da superfície gaussiana,
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Devido à simetria da esfera, escolhemos uma superfície gaussiana que também seja uma esfera de raio , onde pode ser menor ou maior que . Isso facilita os cálculos porque o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é radial.

Passo 5

Vamos considerar dois casos:
  1. Quando (dentro da esfera):
    A carga dentro da superfície gaussiana é a carga dentro de uma esfera de raio com densidade :
  2. Quando (fora da esfera):
    Toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana, então:

Passo 6

Agora, aplicamos a Lei de Gauss para cada caso:
  1. Para :
    Simplificando:
  2. Para :
    Simplificando:

Resposta

O campo elétrico para uma esfera sólida com raio e densidade volumétrica é dado por:
Onde é o vetor unitário na direção radial.

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