Encontre o campo elétrico a uma distância
do centro de uma esfera sólida de raio
uniformemente carregada, cuja carga total é
, que tem uma distribuição volumétrica de carga elétrica de densidade constante
, para:
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de física que está relacionado ao campo elétrico dentro de uma esfera carregada uniformemente. O exercício pede para encontrarmos o campo elétrico a uma distância
do centro de uma esfera sólida de raio
, que possui uma carga total
distribuída de maneira uniforme com densidade volumétrica de carga
, para o caso em que
. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com alta simetria.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é a densidade volumétrica de carga
. Ela representa a quantidade de carga por unidade de volume na esfera. Como a carga está distribuída uniformemente,
é constante em todo o volume da esfera. Podemos calcular
usando a fórmula:
Aqui,
é o volume da esfera.
Passo 3
Agora, para encontrar o campo elétrico a uma distância
do centro da esfera (
), vamos aplicar a Lei de Gauss. Essa lei nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada (Gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante
(permitividade do vácuo):
Aqui,
é a carga dentro da superfície gaussiana.
Passo 4
Escolhemos uma superfície gaussiana que é uma esfera de raio
, alinhada com a esfera carregada. Devido à simetria esférica, o campo elétrico
terá a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e será radial. Portanto, o fluxo elétrico pode ser simplificado para:
Passo 5
Precisamos encontrar
, a carga dentro da superfície gaussiana. Como a carga está distribuída uniformemente, a carga dentro do raio
é proporcional ao volume dessa região. Assim:
Substituindo
que encontramos no Passo 2:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação do fluxo elétrico:
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico a uma distância
do centro da esfera, para
, é dado por:
Onde
é o vetor unitário na direção radial.
Exercícios relacionados
Encontre o campo elétrico a uma distância
do centro de uma superfície esférica de raio
, que tem uma distribuição superficial de carga elétrica de densidade constante
, para:
.
Um anel circular de raio
, está posicionado no plano cartesiano
e possui uma carga com distribuição linear
. O centro do anel coincide com a origem do sistema de coordenadas. Determine o vetor campo elétrico para
.
Desenhe as linhas de campo elétrico de duas partículas com: cargas negativas iguais.
Desenhe as linhas de campo elétrico para, e use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico para: uma esfera sólida de raio
e carregada uniformemente com densidade volumétrica
.