Encontre o campo elétrico a uma distância r do centro de uma esfera sólida de raio R0 uniformemente carregada, cuja carga total é Q, que tem uma distribuição volumétrica de carga elétrica de densidade constante rho, para: r <= R0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física que está relacionado ao campo elétrico dentro de uma esfera carregada uniformemente. O exercício pede para encontrarmos o campo elétrico a uma distância do centro de uma esfera sólida de raio , que possui uma carga total distribuída de maneira uniforme com densidade volumétrica de carga , para o caso em que . Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com alta simetria.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é a densidade volumétrica de carga rho = Q43pi R0^3 . Ela representa a quantidade de carga por unidade de volume na esfera. Como a carga está distribuída uniformemente, é constante em todo o volume da esfera. Podemos calcular usando a fórmula:
Aqui, é o volume da esfera.

Passo 3

Agora, para encontrar o campo elétrico a uma distância oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 do centro da esfera ( ), vamos aplicar a Lei de Gauss. Essa lei nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada (Gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante (permitividade do vácuo):
Aqui, é a carga dentro da superfície gaussiana.

Passo 4

Escolhemos uma superfície gaussiana que é uma esfera de raio E cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0 , alinhada com a esfera carregada. Devido à simetria esférica, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e será radial. Portanto, o fluxo elétrico pode ser simplificado para:

Passo 5

Precisamos encontrar Qenc = rho cdot 43pi r^3 , a carga dentro da superfície gaussiana. Como a carga está distribuída uniformemente, a carga dentro do raio Qenc = Q43pi R0^3 cdot 43pi r^3 = Q ( r^3R0^3 ) é proporcional ao volume dessa região. Assim:
Substituindo que encontramos no Passo 2:

Passo 6

Agora, substituímos E cdot 4pi r^2 = Q ( r^3R0^3 )varepsilon0 na equação do fluxo elétrico:
E = Q cdot r4pi varepsilon0 R0^3
Resolvendo para :

Resposta

O campo elétrico a uma distância E = Q cdot r4pi varepsilon0 R0^3 , r do centro da esfera, para , é dado por:
Onde é o vetor unitário na direção radial.

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