Encontre o campo elétrico a uma distância do centro de uma esfera sólida de raio uniformemente carregada, cuja carga total é , que tem uma distribuição volumétrica de carga elétrica de densidade constante , para: .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física que está relacionado ao campo elétrico dentro de uma esfera carregada uniformemente. O exercício pede para encontrarmos o campo elétrico a uma distância do centro de uma esfera sólida de raio , que possui uma carga total distribuída de maneira uniforme com densidade volumétrica de carga , para o caso em que . Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com alta simetria.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é a densidade volumétrica de carga . Ela representa a quantidade de carga por unidade de volume na esfera. Como a carga está distribuída uniformemente, é constante em todo o volume da esfera. Podemos calcular usando a fórmula:
Aqui, é o volume da esfera.

Passo 3

Agora, para encontrar o campo elétrico a uma distância do centro da esfera ( ), vamos aplicar a Lei de Gauss. Essa lei nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada (Gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante (permitividade do vácuo):
Aqui, é a carga dentro da superfície gaussiana.

Passo 4

Escolhemos uma superfície gaussiana que é uma esfera de raio , alinhada com a esfera carregada. Devido à simetria esférica, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e será radial. Portanto, o fluxo elétrico pode ser simplificado para:

Passo 5

Precisamos encontrar , a carga dentro da superfície gaussiana. Como a carga está distribuída uniformemente, a carga dentro do raio é proporcional ao volume dessa região. Assim:
Substituindo que encontramos no Passo 2:

Passo 6

Agora, substituímos na equação do fluxo elétrico:
Resolvendo para :

Resposta

O campo elétrico a uma distância do centro da esfera, para , é dado por:
Onde é o vetor unitário na direção radial.

Exercícios relacionados

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Um anel circular de raio , está posicionado no plano cartesiano e possui uma carga com distribuição linear . O centro do anel coincide com a origem do sistema de coordenadas. Determine o vetor campo elétrico para .
Desenhe as linhas de campo elétrico de duas partículas com: cargas negativas iguais.
Desenhe as linhas de campo elétrico para, e use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico para: uma esfera sólida de raio e carregada uniformemente com densidade volumétrica .