(a) Desenvolva o balanço material para a espécie A
(b) Calcule a concentração da espécie A para os seguintes tempos (20, 40, 80 e 100 dias), sabendo-se que o degrau é dado por 25 kg / dia, o volume do lago é de 20 times 10^4 m^3 (vazão de 5000 m^3 / dia), a constante cinética é 0,25 mg / L.dia e a concentração inicial do lago é de 150 mg / L
© Qual será a concentração do sistema em regime estacionário

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Na parte (a), precisamos desenvolver o balanço material para a espécie . Isso envolve entender como a quantidade de está entrando, saindo e sendo transformada no lago ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar das informações sobre a vazão, o volume do lago, a concentração inicial de , a taxa de entrada e a constante cinética da reação.

Passo 2

Vamos começar desenvolvendo o balanço material para a espécie dCdt = Taxa de Entrada - Taxa de Saída - Taxa de Reação . O balanço material é uma equação que descreve como a quantidade de uma substância muda com o tempo em um sistema. A fórmula geral do balanço material é:
íçã
Onde:
  • é a concentração de no lago.
  • é a taxa de variação da concentração de ao longo do tempo.

Passo 3

Vamos identificar cada termo da equação:
  1. Taxa de Entrada: É a quantidade de que entra no lago por dia. Já que o degrau é de , precisamos converter isso para mg/L usando o volume do lago.
  2. Taxa de Saída: É a quantidade de que sai do lago devido à vazão de saída. Isso depende da concentração atual e da vazão.
  3. Taxa de Reação: É a quantidade de que é removida pela reação química no lago. Isso é calculado usando a constante cinética .

Passo 4

Vamos calcular cada taxa:
  1. Taxa de Entrada:
Taxa de Entrada = 25 times 10^6 mg20 times 10^4 m^3 = 25 times 10^620 times 10^4 mg/Ldia = 12.5 mg/Ldia
  1. Taxa de Saída:
Taxa de Saída = 5000 m^3/dia times C20 times 10^4 m^3 = 500020 times 10^4 C = 0.025 C mg/Ldia í
  1. Taxa de Reação:
Taxa de Reação = k times C = 0.25 C mg/Ldia çã

Passo 5

Agora, substituímos essas taxas na equação do balanço material:
dCdt = 12.5 - 0.025 C - 0.25 C = 12.5 - 0.275 C

Passo 6

Essa é a equação diferencial que descreve como a concentração de dCdt + 0.275 C = 12.5 varia com o tempo. Para resolver, podemos separar as variáveis:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 7

O fator integrante mu(t) = e^integral 0.275 dt = e^0.275 t é dado por:
e^0.275 t dCdt + 0.275 e^0.275 t C = 12.5 e^0.275 t
Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante:
ddt ( e^0.275 t C ) = 12.5 e^0.275 t
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
e^0.275 t C = 12.50.275 e^0.275 t + K
Onde C = 12.50.275 + K e^-0.275 t é a constante de integração. Dividindo ambos os lados por C = 45.4545 + K e^-0.275 t mg/L :
Calculando :

Passo 9

Para encontrar a constante 150 = 45.4545 + K e^0 , usamos a condição inicial. Sabemos que no tempo 150 = 45.4545 + K , a concentração inicial K = 150 - 45.4545 = 104.5455 :
C(t) = 45.4545 + 104.5455 e^-0.275 t mg/L
Portanto, a solução da equação é:

Passo 10

Agora, vamos para a parte (b) e calcular a concentração de C(t) = 45.4545 + 104.5455 e^-0.275 t nos tempos de 20, 40, 80 e 100 dias usando a equação que encontramos:
C(20) = 45.4545 + 104.5455 e^-0.275 times 20
Vamos calcular cada valor:
  1. Para C(20) = 45.4545 + 104.5455 e^-5.5 approx 45.4545 + 104.5455 times 0.004086 approx 45.4545 + 0.427 approx 45.881 mg/L dias:
C(40) = 45.4545 + 104.5455 e^-0.275 times 40
C(40) approx 45.4545 + 104.5455 times e^-11 approx 45.4545 + 104.5455 times 1.670 times 10^-5 approx 45.4545 + 0.00175 approx 45.456 mg/L
  1. Para C(80) = 45.4545 + 104.5455 e^-0.275 times 80 dias:
C(80) approx 45.4545 + 104.5455 times e^-22 approx 45.4545 + 104.5455 times 2.789 times 10^-10 approx 45.4545 + 2.918 times 10^-8 approx 45.4545 mg/L
C(100) = 45.4545 + 104.5455 e^-0.275 times 100
  1. Para C(100) approx 45.4545 + 104.5455 times e^-27.5 approx 45.4545 + 104.5455 times 1.126 times 10^-12 approx 45.4545 + 1.177 times 10^-10 approx 45.4545 mg/L dias:
  1. Para dias:

Passo 11

Por fim, na parte ©, queremos saber a concentração do sistema em regime estacionário, ou seja, quando C(t) = 45.4545 + 104.5455 e^-0.275 t tende ao infinito. Olhando para a nossa equação:
C(infty) = 45.4545 mg/L
Quando , o termo se aproxima de zero, então:

Resposta

(a) O balanço material para a espécie dCdt = 12.5 - 0.275 C é dado por:
C(20) approx 45.881 mg/L
(b) As concentrações de C(40) approx 45.456 mg/L nos tempos de 20, 40, 80 e 100 dias são aproximadamente:
C(80) approx 45.4545 mg/L
C(100) approx 45.4545 mg/L
© A concentração do sistema em regime estacionário é de aproximadamente .

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