(a) Desenvolva o balanço material para a espécie
(b) Calcule a concentração da espécie A para os seguintes tempos (20, 40, 80 e 100 dias), sabendo-se que o degrau é dado por
dia, o volume do lago é de
(vazão de
dia), a constante cinética é 0,25
.dia e a concentração inicial do lago é de
© Qual será a concentração do sistema em regime estacionário
(b) Calcule a concentração da espécie A para os seguintes tempos (20, 40, 80 e 100 dias), sabendo-se que o degrau é dado por
© Qual será a concentração do sistema em regime estacionário
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Na parte (a), precisamos desenvolver o balanço material para a espécie
. Isso envolve entender como a quantidade de
está entrando, saindo e sendo transformada no lago ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar das informações sobre a vazão, o volume do lago, a concentração inicial de
, a taxa de entrada e a constante cinética da reação.
Passo 2
Vamos começar desenvolvendo o balanço material para a espécie
. O balanço material é uma equação que descreve como a quantidade de uma substância muda com o tempo em um sistema. A fórmula geral do balanço material é:
Onde:
-
é a concentração de no lago. -
é a taxa de variação da concentração de ao longo do tempo.
Passo 3
Vamos identificar cada termo da equação:
-
Taxa de Entrada: É a quantidade de
que entra no lago por dia. Já que o degrau é de , precisamos converter isso para mg/L usando o volume do lago. -
Taxa de Saída: É a quantidade de
que sai do lago devido à vazão de saída. Isso depende da concentração atual e da vazão. -
Taxa de Reação: É a quantidade de
que é removida pela reação química no lago. Isso é calculado usando a constante cinética .
Passo 4
Vamos calcular cada taxa:
- Taxa de Entrada:
- Taxa de Saída:
- Taxa de Reação:
Passo 5
Agora, substituímos essas taxas na equação do balanço material:
Passo 6
Essa é a equação diferencial que descreve como a concentração de
varia com o tempo. Para resolver, podemos separar as variáveis:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 7
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Dividindo ambos os lados por
:
Calculando
:
Passo 9
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial. Sabemos que no tempo
, a concentração inicial
:
Portanto, a solução da equação é:
Passo 10
Agora, vamos para a parte (b) e calcular a concentração de
nos tempos de 20, 40, 80 e 100 dias usando a equação que encontramos:
Vamos calcular cada valor:
- Para
dias:
- Para
dias:
- Para
dias:
- Para
dias:
Passo 11
Por fim, na parte ©, queremos saber a concentração do sistema em regime estacionário, ou seja, quando
tende ao infinito. Olhando para a nossa equação:
Quando
, o termo
se aproxima de zero, então:
Resposta
(a) O balanço material para a espécie
é dado por:
(b) As concentrações de
nos tempos de 20, 40, 80 e 100 dias são aproximadamente:
© A concentração do sistema em regime estacionário é de aproximadamente
.
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