Suponha que 100 peixes especiais são pescados, marcados e colocados no lago de um sitiante, que passa a ter, então, um total de 2000 peixes. Num certo dia, o sitiante autoriza a realização de uma pescaria. Assuma que a quantidade de peixes no lago até esse dia não se alterou. Se 60 peixes são pescados, calcule a probabilidade de 5 serem especiais
a) supondo que os peixes pescados são colocados de volta no lago;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lago com 2000 peixes, dos quais 100 são especiais e foram marcados. Em um dia de pescaria, 60 peixes são capturados, e queremos saber a probabilidade de exatamente 5 deles serem especiais. A matéria envolvida aqui é Probabilidade, mais especificamente Distribuição Binomial, já que estamos lidando com eventos com reposição (os peixes pescados são colocados de volta no lago).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a probabilidade de pegar um peixe especial em uma única pescaria. Como existem 100 peixes especiais em um total de 2000, a probabilidade § de pegar um peixe especial é:
p = 1002000 = 0,05
Isso significa que há 5% de chance de qualquer peixe capturado ser especial.

Passo 3

Como os peixes são colocados de volta no lago após cada pescaria, cada captura é independente das anteriores. Portanto, estamos lidando com uma Distribuição Binomial, onde queremos saber a probabilidade de obter exatamente 5 sucessos (peixes especiais) em 60 tentativas (pescarias).

Passo 4

A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o número de pescarias,
  • é o número de peixes especiais que queremos,
  • é a probabilidade de pegar um peixe especial.

Passo 5

Vamos calcular o coeficiente binomial, que é o número de combinações de 60 pescarias tirando 5 especiais:
binom605 = 60!5! cdot (60 - 5)! = 5.461.512

Passo 6

Agora, aplicamos os valores na fórmula:
P(X = 5) = 5.461.512 cdot (0,05)^5 cdot (0,95)^55

Passo 7

Calculando cada parte:
  • P(X = 5) approx 5.461.512 cdot 3,125 times 10^-7 cdot 0,0462 approx 0,078
Multiplicando tudo:

Resposta

A probabilidade de exatamente 5 dos 60 peixes pescados serem especiais é de aproximadamente 7,8%.

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© Qual será a concentração do sistema em regime estacionário