Suponha que 100 peixes especiais são pescados, marcados e colocados no lago de um sitiante, que passa a ter, então, um total de 2000 peixes. Num certo dia, o sitiante autoriza a realização de uma pescaria. Assuma que a quantidade de peixes no lago até esse dia não se alterou. Se 60 peixes são pescados, calcule a probabilidade de 5 serem especiais
a) supondo que os peixes pescados são colocados de volta no lago;
a) supondo que os peixes pescados são colocados de volta no lago;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lago com 2000 peixes, dos quais 100 são especiais e foram marcados. Em um dia de pescaria, 60 peixes são capturados, e queremos saber a probabilidade de exatamente 5 deles serem especiais. A matéria envolvida aqui é Probabilidade, mais especificamente Distribuição Binomial, já que estamos lidando com eventos com reposição (os peixes pescados são colocados de volta no lago).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a probabilidade de pegar um peixe especial em uma única pescaria. Como existem 100 peixes especiais em um total de 2000, a probabilidade § de pegar um peixe especial é:
Isso significa que há 5% de chance de qualquer peixe capturado ser especial.
Passo 3
Como os peixes são colocados de volta no lago após cada pescaria, cada captura é independente das anteriores. Portanto, estamos lidando com uma Distribuição Binomial, onde queremos saber a probabilidade de obter exatamente 5 sucessos (peixes especiais) em 60 tentativas (pescarias).
Passo 4
A fórmula da Distribuição Binomial é:
Onde:
-
é o número de pescarias, -
é o número de peixes especiais que queremos, -
é a probabilidade de pegar um peixe especial.
Passo 5
Vamos calcular o coeficiente binomial, que é o número de combinações de 60 pescarias tirando 5 especiais:
Passo 6
Agora, aplicamos os valores na fórmula:
Passo 7
Calculando cada parte:
Multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade de exatamente 5 dos 60 peixes pescados serem especiais é de aproximadamente 7,8%.