Desenvolva uma expressão para a taxa de variação da temperatura da placa com o tempo, admitindo que a temperatura seja uniforme em qualquer tempo. Resp.: Ts^4)]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenvolver uma expressão para a taxa de variação da temperatura de uma placa ao longo do tempo, assumindo que a temperatura é uniforme em qualquer instante. Estamos lidando com transferência de calor, especificamente com condução, convecção e radiação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica e equilíbrio térmico.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que a temperatura da placa, , está mudando no tempo, ou seja, . Como a temperatura é uniforme na placa, não precisamos nos preocupar com variações espaciais, apenas temporais.
Passo 3
O próximo passo é relacionar a taxa de variação da temperatura com as taxas de transferência de calor pela convecção e pela radiação. A transferência de calor por convecção pode ser descrita pela equação:
Qconvecção = hL cdot A cdot (Ts - Tinfty) çã
onde:
é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
é a área da placa,
é a temperatura da superfície da placa,
é a temperatura do fluido ambiente.
Passo 4
Agora, vamos considerar a transferência de calor por radiação. A equação para a transferência radiativa é:
Segundo a primeira lei da termodinâmica, a taxa de perda de calor da placa é igual à variação da energia interna da placa. Isso pode ser expresso por:
Qtotal = m cdot c cdot dTdt
onde:
é a massa da placa,
é o calor específico da placa.
Passo 7
Podemos relacionar a massa m = rho cdot A cdot e com a densidade hL cdot A cdot (Ts - Tinfty) + sigma cdot varepsilon cdot A cdot (Ts^4 - Tinfty^4) = rho cdot A cdot e cdot c cdot dTdt e o volume. Se considerarmos uma placa com espessura e área , temos:
Substituindo na equação anterior:
Passo 8
Agora, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por hL (Ts - Tinfty) + sigma varepsilon (Ts^4 - Tinfty^4)rho e c = dTdt :
Passo 9
Finalmente, organizando a expressão, temos a taxa de variação da temperatura dTdt = hL (Ts - Tinfty) + sigma varepsilon (Ts^4 - Tinfty^4)rho e c em função das demais variáveis:
Resposta
A taxa de variação da temperatura da placa com o tempo é dada por:
d Td t = hL (Ts - Tinfty) + sigma varepsilon (Ts^4 - Tinfty^4)rho e c