Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para a gente transformar uma função dada em uma série de senos ou cossenos. Isso faz parte do estudo das Séries de Fourier, que são usadas para decompor funções periódicas em somas de funções trigonométricas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para a função proposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a função é ímpar ou par, porque isso determina se vamos usar apenas senos ou cossenos na série. Olhando para a função dada:
Podemos notar que a função é par, já que . Isso significa que a série de Fourier será composta apenas por cossenos.
Passo 3
Agora, vamos identificar o intervalo de periodicidade. A função está definida de a , então o período será () e a frequência fundamental será:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular os coeficientes da série de cossenos. Para uma função par, os coeficientes são calculados por:
Como a função é par, podemos simplificar a integral de a para a e multiplicar por 2:
Passo 5
Agora, vamos dividir a integral conforme a definição de :
A primeira integral é zero, então sobra:
Passo 6
Vamos resolver essa integral:
Sabemos que , então:
Passo 7
Vamos analisar :
Para par:
Para ímpar:
Se ,
Se ,
Então, só os termos ímpares contribuem para a série.