Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para desenvolver a função
em uma série de cossenos ou senos, dependendo do caso. Estamos lidando com uma função definida por partes no intervalo de
a
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, que são usadas para expressar funções periódicas como soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função
é par, ímpar ou nenhuma das duas. Isso vai determinar se vamos usar apenas cossenos, apenas senos ou ambos na série.
Uma função é par se
e ímpar se
.
Vamos verificar:
- Para
: - Para
:
Comparando:
e
Como
, a função é ímpar. Portanto, vamos usar apenas a série de senos.
Passo 3
A série de Fourier para funções ímpares em um intervalo
a
é dada por:
Onde os coeficientes
são calculados por:
No nosso caso,
, então a fórmula fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A função
para
é
, então:
Vamos dividir essa integral em duas partes:
Passo 5
Calculando cada integral separadamente.
Primeira integral:
Vamos usar integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então:
Avaliando de 0 a
:
Sabemos que
e
, então:
Segunda integral:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Podemos simplificar ainda mais, mas para fins de série, já temos a expressão dos
.
Passo 7
Finalmente, a série de Fourier da função
é:
Resposta
A série de Fourier da função
é: