Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
i) f(x) = { x - 1, -pi < x < 0; x + 1, 0 <= x < pi }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para desenvolver a função em uma série de cossenos ou senos, dependendo do caso. Estamos lidando com uma função definida por partes no intervalo de a . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, que são usadas para expressar funções periódicas como soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Isso vai determinar se vamos usar apenas cossenos, apenas senos ou ambos na série.
Uma função é par se e ímpar se .
Vamos verificar:
  • Para :
  • Para :
Comparando:
e
Como , a função é ímpar. Portanto, vamos usar apenas a série de senos.

Passo 3

A série de Fourier para funções ímpares em um intervalo a é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:
No nosso caso, , então a fórmula fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes . A função para é , então:
Vamos dividir essa integral em duas partes:

Passo 5

Calculando cada integral separadamente.
Primeira integral:
Vamos usar integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então:
Avaliando de 0 a :
Sabemos que e , então:
Segunda integral:

Passo 6

Agora, juntando tudo:
Podemos simplificar ainda mais, mas para fins de série, já temos a expressão dos .

Passo 7

Finalmente, a série de Fourier da função é:

Resposta

A série de Fourier da função é:

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