Determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada.
a) f(x) = { 1, 0 < x < 1/2; 0, 1/2 <= x < 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida no intervalo de 0 a 1, onde ela vale 1 de 0 a 1/2 e 0 de 1/2 a 1. O objetivo aqui é desenvolver essa função usando uma série de senos e cossenos. Isso faz parte do estudo das Séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como soma de funções trigonométricas. Pra isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes de Fourier para senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função no intervalo é dada por:
Onde:
  • é o termo constante,
  • são os coeficientes dos cossenos,
  • são os coeficientes dos senos.
No nosso caso, , então a fórmula fica mais simples:

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o termo constante . A fórmula para é:
Substituindo e a função :

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes dos cossenos. A fórmula é:
Com :
Integrando:

Passo 5

Agora, vamos para os coeficientes dos senos. A fórmula é:
Substituindo e :
Integrando:

Passo 6

Então, juntando tudo, a série de Fourier para a função dada é:

Resposta

A série de Fourier desenvolvida em senos e cossenos para a função dada é:

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