Determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada.
a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida no intervalo de 0 a 1, onde ela vale 1 de 0 a 1/2 e 0 de 1/2 a 1. O objetivo aqui é desenvolver essa função usando uma série de senos e cossenos. Isso faz parte do estudo das Séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como soma de funções trigonométricas. Pra isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes de Fourier para senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função
no intervalo
é dada por:
Onde:
-
é o termo constante, -
são os coeficientes dos cossenos, -
são os coeficientes dos senos.
No nosso caso,
, então a fórmula fica mais simples:
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o termo constante
. A fórmula para
é:
Substituindo
e a função
:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
dos cossenos. A fórmula é:
Com
:
Integrando:
Passo 5
Agora, vamos para os coeficientes
dos senos. A fórmula é:
Substituindo
e
:
Integrando:
Passo 6
Então, juntando tudo, a série de Fourier para a função dada é:
Resposta
A série de Fourier desenvolvida em senos e cossenos para a função dada é: