Determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada.
d) f(x) = sen(x), 0 < x < pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os desenvolvimentos em séries de senos e cossenos para a função no intervalo . Isso faz parte do estudo das séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas usando senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes dessas séries seguindo as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na série de senos, já que a função dada é , que é uma função ímpar. As séries de Fourier para funções definidas em meio-intervalos costumam usar apenas senos ou cossenos. Como nossa função é ímpar, faz mais sentido usar a série de senos.
A fórmula geral para a série de Fourier em senos no intervalo é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os coeficientes . A fórmula para calcular é:
No nosso caso, , então substituindo:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar a identidade trigonométrica para o produto de senos:
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular as integrais separadamente. Sabemos que:
Aplicando os limites de 0 a :
Porque para qualquer inteiro .

Passo 6

Portanto, ambas as integrais resultam em zero:
Mas isso não faz sentido, já que nossa função é . O que aconteceu aqui? Na verdade, apenas o termo onde vai contribuir, já que para , a identidade trigonométrica se reduz a , que não é zero.
Vamos recalcular para :

Passo 7

Usando a identidade :

Passo 8

Para , os coeficientes são zero, como vimos anteriormente. Portanto, a série de senos para no intervalo é simplesmente:

Resposta

A série de senos que representa no intervalo é:

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<html><head></head><body><div>Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.<br>
i) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -2.149ex;” xmlns=“
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data-mml-node=“mo” transform=“translate(2683.3,0)”><path data-c=“3C” d=“M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(3739.1,0)”><path data-c=“1D70B” d=“M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z”></path></g></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(9409.6,0) translate(0 250)”></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.<br>
b) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -3.733ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“26.461ex” height=“8.597ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -2150 11695.7 3800”><title>f(x) = { 1, -2 < x < -1; 0, -1 < x < 1; 1, 1 < x < 2 }</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 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h) <span class="math-inline ">
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