Determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada.
d) f(x) = sen(x), 0 < x < pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os desenvolvimentos em séries de senos e cossenos para a função no intervalo . Isso faz parte do estudo das séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas usando senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes dessas séries seguindo as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na série de senos, já que a função dada é , que é uma função ímpar. As séries de Fourier para funções definidas em meio-intervalos costumam usar apenas senos ou cossenos. Como nossa função é ímpar, faz mais sentido usar a série de senos.
A fórmula geral para a série de Fourier em senos no intervalo é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os coeficientes . A fórmula para calcular é:
No nosso caso, , então substituindo:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar a identidade trigonométrica para o produto de senos:
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular as integrais separadamente. Sabemos que:
Aplicando os limites de 0 a :
Porque para qualquer inteiro .

Passo 6

Portanto, ambas as integrais resultam em zero:
Mas isso não faz sentido, já que nossa função é . O que aconteceu aqui? Na verdade, apenas o termo onde vai contribuir, já que para , a identidade trigonométrica se reduz a , que não é zero.
Vamos recalcular para :

Passo 7

Usando a identidade :

Passo 8

Para , os coeficientes são zero, como vimos anteriormente. Portanto, a série de senos para no intervalo é simplesmente:

Resposta

A série de senos que representa no intervalo é:

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