Determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os desenvolvimentos em séries de senos e cossenos para a função
no intervalo
. Isso faz parte do estudo das séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas usando senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes dessas séries seguindo as fórmulas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na série de senos, já que a função dada é
, que é uma função ímpar. As séries de Fourier para funções definidas em meio-intervalos costumam usar apenas senos ou cossenos. Como nossa função é ímpar, faz mais sentido usar a série de senos.
A fórmula geral para a série de Fourier em senos no intervalo
é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os coeficientes
. A fórmula para calcular
é:
No nosso caso,
, então substituindo:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar a identidade trigonométrica para o produto de senos:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular as integrais separadamente. Sabemos que:
Aplicando os limites de 0 a
:
Porque
para qualquer inteiro
.
Passo 6
Portanto, ambas as integrais resultam em zero:
Mas isso não faz sentido, já que nossa função é
. O que aconteceu aqui? Na verdade, apenas o termo onde
vai contribuir, já que para
, a identidade trigonométrica se reduz a
, que não é zero.
Vamos recalcular para
:
Passo 7
Usando a identidade
:
Passo 8
Para
, os coeficientes
são zero, como vimos anteriormente. Portanto, a série de senos para
no intervalo
é simplesmente:
Resposta
A série de senos que representa
no intervalo
é: