Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para desenvolver a função em uma série de cossenos ou senos, no intervalo . Esse tipo de problema está dentro do estudo das Séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos usar essa teoria para decompor a função em uma série de senos.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar se a função é par ou ímpar. Isso é importante porque funções pares são representadas por séries de cossenos e funções ímpares por séries de senos. A função é uma função ímpar, já que . Então, vamos desenvolver uma série de senos.
Passo 3
A série de Fourier para uma função ímpar no intervalo é dada por:
onde os coeficientes são calculados por:
Vamos calcular esses coeficientes para a nossa função .
Passo 4
Substituindo na fórmula dos coeficientes, temos:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
Vamos escolher:
Aplicando a integração por partes:
Agora, avaliamos de a :
Como e , simplificamos:
Resposta
Portanto, a série de Fourier da função no intervalo é: