Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para desenvolver a função
em uma série de cossenos ou senos, no intervalo
. Esse tipo de problema está dentro do estudo das Séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos usar essa teoria para decompor a função
em uma série de senos.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar se a função é par ou ímpar. Isso é importante porque funções pares são representadas por séries de cossenos e funções ímpares por séries de senos. A função
é uma função ímpar, já que
. Então, vamos desenvolver uma série de senos.
Passo 3
A série de Fourier para uma função ímpar
no intervalo
é dada por:
onde os coeficientes
são calculados por:
Vamos calcular esses coeficientes para a nossa função
.
Passo 4
Substituindo
na fórmula dos coeficientes, temos:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
Vamos escolher:
Aplicando a integração por partes:
Agora, avaliamos de
a
:
Como
e
, simplificamos:
Resposta
Portanto, a série de Fourier da função
no intervalo
é: