Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
d) f(x) = x, -pi < x < pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para desenvolver a função em uma série de cossenos ou senos, no intervalo . Esse tipo de problema está dentro do estudo das Séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos usar essa teoria para decompor a função em uma série de senos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar se a função é par ou ímpar. Isso é importante porque funções pares são representadas por séries de cossenos e funções ímpares por séries de senos. A função é uma função ímpar, já que . Então, vamos desenvolver uma série de senos.

Passo 3

A série de Fourier para uma função ímpar no intervalo é dada por:
onde os coeficientes são calculados por:
Vamos calcular esses coeficientes para a nossa função .

Passo 4

Substituindo na fórmula dos coeficientes, temos:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
Vamos escolher:
Aplicando a integração por partes:
Agora, avaliamos de a :
Como e , simplificamos:

Resposta

Portanto, a série de Fourier da função no intervalo é:

Exercícios relacionados

Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
i) f(x) = x^3, 0 <= x <= 2
Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
d) f(x) = x^3 - 4x
Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
k) f(x) = { 1, -2 < x < -1; -x, -1 <= x < 1; x, 0 <= x < 1; 1, 1 <= x < 2 }
Determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada.
g) f(x) = { x, 0 < x < 1; 1, 1 <= x < 2 }