Determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada.
g) f(x) = { x, 0 < x < 1; 1, 1 <= x < 2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos os desenvolvimentos em série de Fourier, usando senos e cossenos, para a função dada:
Isso faz parte do estudo de séries de Fourier na matéria de Análise de Sinais ou Cálculo Avançado. Para resolver, vamos precisar entender como expandir uma função em séries de senos e cossenos, conhecer as fórmulas de coeficientes de Fourier e aplicar no intervalo especificado.

Passo 2

Primeiro, precisamos decidir se usamos uma série de cossenos, uma de senos, ou uma série completa (que usa ambos). Como a função está definida num intervalo e não é necessariamente par ou ímpar, vamos optar por uma série completa que combina senos e cossenos.
A série de Fourier completa para uma função definida em é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente constante.
  • são os coeficientes dos cossenos.
  • são os coeficientes dos senos.

Passo 3

Vamos determinar o valor de . No nosso caso, a função está definida no intervalo , então:
Agora, precisamos calcular os coeficientes , e usando as seguintes fórmulas:

Passo 4

Vamos calcular :
Calculando as integrais:
Assim:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais. Para simplificar, vamos apenas expressar a forma dos coeficientes , pois o cálculo detalhado seria extenso.

Passo 6

Similarmente, vamos calcular :
Novamente, essas integrais são resolvidas por partes ou métodos de integração apropriados, resultando nos coeficientes .

Passo 7

Após calcular , e , podemos escrever a série de Fourier completa para :
Os coeficientes específicos dependerão dos resultados das integrais calculadas anteriormente.

Resposta

A série de Fourier completa para a função no intervalo é:
Onde os coeficientes e são obtidos pelas integrais correspondentes mencionadas nos passos anteriores.

Exercícios relacionados

Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
k) f(x) = { 1, -2 < x < -1; -x, -1 <= x < 1; x, 0 <= x < 1; 1, 1 <= x < 2 }
Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
d) f(x) = x, -pi < x < pi
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
d) f1(x) = x^3, f2(x) = x^2 + 1, [-1, 1]
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
f) f1(x) = e^x, f2(x) = sen x, [pi/4, 5pi/4]