Determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada.
i) f(x) = x^2 + x, 0 < x < 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função no intervalo . Isso significa que vamos usar Séries de Fourier, especificamente as séries de senos e cossenos, para representar essa função nesse intervalo. Para resolver isso, precisamos entender como calcular os coeficientes das séries de Fourier para senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na Série de Fourier em Cossenos, que é útil quando a função é par em relação ao ponto médio do intervalo. A série fica assim:
Aqui, é metade do intervalo total. Como nosso intervalo é de 0 a 1, .

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente . A fórmula para é:
Substituindo e :

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para . A fórmula é:
Substituindo :

Passo 6

Vamos resolver a integral separadamente para e :
Primeiro, para :
Usamos integração por partes duas vezes:
  1. ,
  2. ,
Depois, para .
Após calcular, combinamos os resultados.

Passo 7

Após resolver as integrais (o que envolve alguns passos de cálculo), obtemos os coeficientes . Esses coeficientes dependerão de e incorporarão termos com e funções trigonométricas.

Passo 8

Finalmente, montamos a série de Fourier em cossenos com os coeficientes encontrados:

Resposta

A expansão em série de Fourier de no intervalo em termos de cossenos é:
onde os coeficientes são calculados conforme mostrado nos passos anteriores.

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