Determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função
no intervalo
. Isso significa que vamos usar Séries de Fourier, especificamente as séries de senos e cossenos, para representar essa função nesse intervalo. Para resolver isso, precisamos entender como calcular os coeficientes das séries de Fourier para senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na Série de Fourier em Cossenos, que é útil quando a função é par em relação ao ponto médio do intervalo. A série fica assim:
Aqui,
é metade do intervalo total. Como nosso intervalo é de 0 a 1,
.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
. A fórmula para
é:
Substituindo
e
:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
. A fórmula é:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos resolver a integral separadamente para
e
:
Primeiro, para
:
Usamos integração por partes duas vezes:
-
, -
,
Depois, para
.
Após calcular, combinamos os resultados.
Passo 7
Após resolver as integrais (o que envolve alguns passos de cálculo), obtemos os coeficientes
. Esses coeficientes dependerão de
e incorporarão termos com
e funções trigonométricas.
Passo 8
Finalmente, montamos a série de Fourier em cossenos com os coeficientes encontrados:
Resposta
A expansão em série de Fourier de
no intervalo
em termos de cossenos é:
onde os coeficientes
são calculados conforme mostrado nos passos anteriores.