Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
m) f(x) = |sen x|, -pi < x < pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para desenvolver a função em uma série de cossenos ou senos, dependendo do caso. Aqui, a matéria envolvida é a Série de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar identificar se a função é par ou ímpar, calcular os coeficientes de Fourier e montar a série.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é par ou ímpar. Uma função é par se e ímpar se .
Calculando:
Então, a função é par. Isso significa que na série de Fourier teremos apenas termos de cossenos, já que os termos de seno desaparecem para funções pares.

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier. Para uma função par no intervalo a , a série de Fourier é dada por:
Onde:
Como a função é par, podemos simplificar as integrais de e para:

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando as integrais, percebemos que para diferente de 1, os termos de cosseno se anulam, e para ímpar, não é zero. Após simplificações, chegamos a:
para ímpar.

Passo 6

Com os coeficientes calculados, a série de Fourier para no intervalo é:
Simplificando os denominadores:
E assim, temos a série de cossenos representando .

Resposta

A série de Fourier para no intervalo é:
Ou, de forma geral:

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