Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para desenvolver a função
em uma série de cossenos ou senos, dependendo do caso. Aqui, a matéria envolvida é a Série de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar identificar se a função é par ou ímpar, calcular os coeficientes de Fourier e montar a série.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é par ou ímpar. Uma função é par se
e ímpar se
.
Calculando:
Então, a função é par. Isso significa que na série de Fourier teremos apenas termos de cossenos, já que os termos de seno desaparecem para funções pares.
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier. Para uma função par no intervalo
a
, a série de Fourier é dada por:
Onde:
Como a função é par, podemos simplificar as integrais de
e
para:
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Usando a identidade trigonométrica:
Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando as integrais, percebemos que para
diferente de 1, os termos de cosseno se anulam, e para
ímpar,
não é zero. Após simplificações, chegamos a:
para
ímpar.
Passo 6
Com os coeficientes calculados, a série de Fourier para
no intervalo
é:
Simplificando os denominadores:
E assim, temos a série de cossenos representando
.
Resposta
A série de Fourier para
no intervalo
é:
Ou, de forma geral: