Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
f) f(x) = x|x| , -1 < x < 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenvolver a função em uma série de senos ou cossenos no intervalo . Isso faz parte do estudo das séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Vamos precisar entender se a função é par ou ímpar para escolher entre a série de cossenos (função par) ou a série de senos (função ímpar).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a simetria da função . Uma função é par se e ímpar se . Vamos testar:
Como , a função é ímpar.

Passo 3

Como a função é ímpar, a série de Fourier vai ser composta apenas por senos. Isso simplifica nossa vida porque não precisamos calcular os coeficientes dos cossenos.
A série de Fourier para uma função ímpar no intervalo é dada por:
No nosso caso, , então a fórmula fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Com , fica:
Como para , simplificamos a integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral . Podemos usar a integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Precisamos integrar novamente por partes:
Então:
Voltando à integral original:
Avaliado de 0 a 1:
Para :
Para :
Simplificando, e sabendo que e :
Simplificando mais:

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta no coeficiente :

Passo 7

Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função é:

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é:

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