Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenvolver a função
em uma série de senos ou cossenos no intervalo
. Isso faz parte do estudo das séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Vamos precisar entender se a função é par ou ímpar para escolher entre a série de cossenos (função par) ou a série de senos (função ímpar).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a simetria da função
. Uma função é par se
e ímpar se
. Vamos testar:
Como
, a função é ímpar.
Passo 3
Como a função é ímpar, a série de Fourier vai ser composta apenas por senos. Isso simplifica nossa vida porque não precisamos calcular os coeficientes dos cossenos.
A série de Fourier para uma função ímpar no intervalo
é dada por:
No nosso caso,
, então a fórmula fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Com
, fica:
Como
para
, simplificamos a integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral
. Podemos usar a integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Precisamos integrar
novamente por partes:
Então:
Voltando à integral original:
Avaliado de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Simplificando, e sabendo que
e
:
Simplificando mais:
Passo 6
Finalmente, substituímos de volta no coeficiente
:
Passo 7
Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função
é:
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é: