Desenvolva a função dada em uma série de Fourier. $$ \begin{aligned} & \text { a) } f(x)=x^{2}, 0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de desenvolver funções em séries de Fourier! O que a gente vai fazer é pegar a função que você deu e transformá-la em uma soma de senos e cossenos. Isso é super útil pra analisar funções periódicas. Vamos precisar usar um pouco de cálculo para encontrar os coeficientes da série. Vamos resolver as duas partes: a) no intervalo e b) no intervalo .
## Parte a) ,
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função é par ou ímpar. Como é par ( ), sabemos que a série de Fourier vai ter apenas termos de cosseno. A série geral será:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes. O coeficiente é dado por:
Calculando a integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes :
Essa integral pode ser resolvida por partes duas vezes. Após calcular, obtemos:
Passo 5
Com os coeficientes e encontrados, podemos escrever a série de Fourier para :
## Parte b) ,
Passo 6
Primeiro, vamos verificar se a função é par ou ímpar. A função é ímpar em relação a algum ponto central, mas vamos considerar a série de Fourier completa com senos e cossenos. A série geral será:
Aqui, , já que o período é .
Passo 7
Vamos calcular o coeficiente :
Passo 8
Agora, calculamos os coeficientes :
Depois de calcular essa integral, obtemos:
Passo 9
Em seguida, calculamos os coeficientes :
Após resolver a integral, temos:
Passo 10
Com todos os coeficientes calculados, a série de Fourier para é:
Resposta
A série de Fourier para as funções dadas são:
a) Para no intervalo :
b) Para no intervalo :
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c)