Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(2) f(x) = 1/(x^2 - 1) ; f'(x) + 2x f^2(x) = 0.

Passo 1

Vamos ver se a função resolve a equação diferencial . Para isso, vamos precisar calcular a derivada de e substituir na equação. Além disso, vamos determinar onde essa função está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A função é uma fração, então usamos a regra do quociente ou a regra da cadeia. Escreveremos como para facilitar a diferenciação.
Usando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação diferencial para verificar se a igualdade é verdadeira.
Substituindo:
Simplificando o segundo termo:
Então:
A igualdade se confirma, ou seja, a função satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Vamos determinar onde a função está definida. O denominador não pode ser zero, então:
Portanto, a função está definida para todos os números reais, exceto e .

Resposta

A função é uma solução para a equação diferencial e está definida para todos os valores de exceto e .

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