Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(2)
.
(2)
Passo 1
Vamos ver se a função
resolve a equação diferencial
. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de
e substituir na equação. Além disso, vamos determinar onde essa função está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A função é uma fração, então usamos a regra do quociente ou a regra da cadeia. Escreveremos
como
para facilitar a diferenciação.
Usando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial para verificar se a igualdade é verdadeira.
Substituindo:
Simplificando o segundo termo:
Então:
A igualdade se confirma, ou seja, a função satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Vamos determinar onde a função
está definida. O denominador
não pode ser zero, então:
Portanto, a função está definida para todos os números reais, exceto
e
.
Resposta
A função
é uma solução para a equação diferencial
e está definida para todos os valores de
exceto
e
.
Exercícios relacionados
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(1) .
(1)
Calcule as integrais abaixo.
Desenvolva a função dada em uma série de Fourier.