Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(1)
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função dada
é uma solução para a equação diferencial
. Isso envolve calcular as derivadas da função e substituir na equação para ver se iguala a zero. Vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra do produto, já que temos
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A função é
.
Para derivar
, sabemos que a derivada de
é
, então:
Agora, vamos derivar
. Aqui usamos a regra do produto, que diz que
. Então, considerando
e
:
Aplicando a regra do produto:
Agora, somando as duas derivadas:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Já temos
.
Primeiro, derivamos
:
Em seguida, derivamos
usando a regra do produto novamente:
Agora, somando as duas partes:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial
:
Vamos simplificar cada termo:
Somando todos:
Então, a soma dá zero, o que confirma que a função
satisfaz a equação diferencial.
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo onde a solução
está definida. Observamos que
está definido para todos os valores reais de
, e o termo
também está definido para todo
real, já que multiplicamos um polinômio (
) por uma função exponencial que nunca é zero.
Resposta
Sim, a função
é uma solução da equação diferencial
, e está definida para todos os números reais
.
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(6) .
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Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(2) .
(2)
Desenvolva a função dada em uma série de Fourier.