Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(1) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função dada é uma solução para a equação diferencial . Isso envolve calcular as derivadas da função e substituir na equação para ver se iguala a zero. Vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra do produto, já que temos .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é .
Para derivar , sabemos que a derivada de é , então:
Agora, vamos derivar . Aqui usamos a regra do produto, que diz que . Então, considerando e :
Aplicando a regra do produto:
Agora, somando as duas derivadas:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Já temos .
Primeiro, derivamos :
Em seguida, derivamos usando a regra do produto novamente:
Agora, somando as duas partes:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial :
Vamos simplificar cada termo:
Somando todos:
Então, a soma dá zero, o que confirma que a função satisfaz a equação diferencial.

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo onde a solução está definida. Observamos que está definido para todos os valores reais de , e o termo também está definido para todo real, já que multiplicamos um polinômio ( ) por uma função exponencial que nunca é zero.

Resposta

Sim, a função é uma solução da equação diferencial , e está definida para todos os números reais .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo.
Classifique as seguintes equações diferenciais segundo a ordem e a linearidade. Determine a função incógnita e a variável independente.
(6) .
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(2) .
Desenvolva a função dada em uma série de Fourier.