Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de funções:
para
no intervalo
. A missão é mostrar que esse conjunto é ortogonal nesse intervalo e encontrar a norma de cada função. Vamos precisar de alguns conceitos de cálculo integral e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal. No contexto das funções, duas funções
e
são ortogonais no intervalo
se o produto interno delas for zero, ou seja:
Então, para mostrar que nosso conjunto
é ortogonal no intervalo
, precisamos verificar que para
:
Passo 3
Vamos calcular essa integral. Existe uma identidade trigonométrica que nos ajuda aqui:
Substituindo na integral:
Passo 4
Integrando termo a termo:
Avaliar nos limites
e
:
-
e são ambos iguais a zero porque o seno de múltiplos inteiros de é zero. - Em
, também temos zero.
Portanto, toda a expressão resulta em zero:
Isso mostra que as funções são ortogonais para
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a norma de cada função
. A norma de uma função é dada por:
Então, para
:
Passo 6
Para resolver a integral
, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo:
Avaliar nos limites:
- Em
:
- Em
:
Portanto:
Então, a norma é:
Resposta
O conjunto
para
é ortogonal no intervalo
e a norma de cada função desse conjunto é
.
Exercícios relacionados
Desenvolva a função dada em uma série de Fourier.
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
e)
e)
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(5) .
(5)