Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de funções: para no intervalo . A missão é mostrar que esse conjunto é ortogonal nesse intervalo e encontrar a norma de cada função. Vamos precisar de alguns conceitos de cálculo integral e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal. No contexto das funções, duas funções e são ortogonais no intervalo se o produto interno delas for zero, ou seja:
Então, para mostrar que nosso conjunto é ortogonal no intervalo , precisamos verificar que para :

Passo 3

Vamos calcular essa integral. Existe uma identidade trigonométrica que nos ajuda aqui:
Substituindo na integral:

Passo 4

Integrando termo a termo:
Avaliar nos limites e :
  • e são ambos iguais a zero porque o seno de múltiplos inteiros de é zero.
  • Em , também temos zero.
Portanto, toda a expressão resulta em zero:
Isso mostra que as funções são ortogonais para .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a norma de cada função . A norma de uma função é dada por:
Então, para :

Passo 6

Para resolver a integral , usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo:
Avaliar nos limites:
  • Em :
  • Em :
Portanto:
Então, a norma é:

Resposta

O conjunto para é ortogonal no intervalo e a norma de cada função desse conjunto é .

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Desenvolva a função dada em uma série de Fourier.
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
e)
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(5) .