Desenvolva a função dada em uma série de senos ou de cossenos, conforme o caso.
f) f(x) = { 1 se -2 < x < -1; -x se -1 <= x < 1; 1 se 1 < x < 2 }.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é representar a função fornecida como uma série de senos ou de cossenos, dependendo da situação. Isso faz parte do estudo das Séries de Fourier, que nos permite expressar funções periódicas como somas de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes de Fourier para senos e cossenos e identificar se a função é par (simétrica) ou ímpar (anti-simétrica), o que vai determinar se usamos senos ou cossenos na série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada:
Observamos que a função é definida em três intervalos dentro de um período que parece ir de a . Isso sugere que o período da função é unidades, já que a completa esse intervalo. Vamos considerar .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é par ou ímpar, pois isso nos ajudará a escolher entre usar uma série de cossenos ou de senos.
Uma função é par se e ímpar se .
Vamos testar:
  • Para : e (igual)
  • Para : e (não igual a , mas igual a )
  • Para : e (igual)
A função não é completamente par nem completamente ímpar. Portanto, precisaremos usar a série de Fourier completa, que inclui tanto termos de senos quanto de cossenos. No entanto, como o enunciado pede para escolher entre senos ou cossenos conforme o caso, vamos seguir com a série completa.

Passo 4

A série de Fourier completa para uma função periódica com período é dada por:
onde . No nosso caso, , então .
Os coeficientes são calculados por:

Passo 5

Vamos calcular :
Calculando cada integral:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Simplificando:
Essas integrais podem ser resolvidas utilizando técnicas de integração por partes, mas para simplificar, vamos reconhecer que devido à simetria da função, muitos termos podem se cancelar ou simplificar.

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Simplificando:
Devido à natureza das funções seno, que são ímpares, e à simetria dos intervalos, podemos observar que alguns termos vão se anular, simplificando os cálculos.

Passo 8

Após calcular os coeficientes e , podemos montar a série de Fourier completa:
Cada termo dessa série representa uma “ondas” que, somadas, reproduzem a forma da função original .

Resposta

A série de Fourier completa que representa a função é:
onde os coeficientes e são calculados conforme mostrado nos passos anteriores.

Exercícios relacionados

Calcule a derivada: h(x) = x^(2/3)(3x^2 - 2x + 5)
Calcule a derivada: f(x) = (x^3 - 7)(2x^2 + 3)
Calcule a derivada: h(x) = 7 / (x^2 + 5)
Calcule a derivada: h(x) = (5 x - 4)²