Desenvolva a função
em séries de MacLaurin e determine o seu intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenvolver a função
em uma série de MacLaurin. Isso significa que vamos expandir essa função em uma série de potências centrada em zero. Para isso, vamos usar algumas ferramentas de cálculo, como a expansão em série de funções logarítmicas e a integração termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de MacLaurin para o logaritmo natural. Sabemos que:
No nosso caso, temos
. Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa série por
, já que nossa função dentro da integral é
:
Passo 4
Agora que temos a expressão pronta, vamos integrar termo a termo de 0 até
:
A integral de
é
, então:
Passo 5
Vamos simplificar um pouco a expressão geral da série:
Isso representa a expansão em série de MacLaurin da função dada.
Passo 6
Para determinar o intervalo de convergência dessa série, observamos que a expansão inicial da função
converge quando:
Como estamos integrando de 0 a
, o intervalo de convergência para a série de
também será:
Resposta
A série de MacLaurin da função
é:
E o intervalo de convergência dessa série é:
Exercícios relacionados
Mostre que a série de potências
é convergente no intervalo
e que sua soma é igual a
.
Utilize séries numéricas e/ou séries de potências para encontrar os valores reais de
que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo.
(b)
(b)
Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(e)
(e)
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(f)
(f)