Desenvolva a função f(x)=integral0^x t^2 ln (1+4 t^2) d t em séries de MacLaurin e determine o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenvolver a função em uma série de MacLaurin. Isso significa que vamos expandir essa função em uma série de potências centrada em zero. Para isso, vamos usar algumas ferramentas de cálculo, como a expansão em série de funções logarítmicas e a integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de MacLaurin para o logaritmo natural. Sabemos que:
ln(1 + u) = sumn=1^infty (-1)^n+1 u^nn, para |u| < 1
No nosso caso, temos ln(1 + 4t^2) = sumn=1^infty (-1)^n+1 (4t^2)^nn . Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa série por t^2 ln(1 + 4t^2) = t^2 sumn=1^infty (-1)^n+1 (4t^2)^nn = sumn=1^infty (-1)^n+1 4^n t^2n+2n , já que nossa função dentro da integral é :

Passo 4

Agora que temos a expressão pronta, vamos integrar termo a termo de 0 até f(x) = integral0^x sumn=1^infty (-1)^n+1 4^n t^2n+2n , dt = sumn=1^infty (-1)^n+1 4^nn integral0^x t^2n+2 , dt :
f(x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 4^nn cdot x^2n+32n+3 = sumn=1^infty (-1)^n+1 4^n x^2n+3n(2n+3)
A integral de é , então:

Passo 5

Vamos simplificar um pouco a expressão geral da série:
f(x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 4^nn(2n+3) x^2n+3
Isso representa a expansão em série de MacLaurin da função dada.

Passo 6

Para determinar o intervalo de convergência dessa série, observamos que a expansão inicial da função |4t^2| < 1 implies |t| < 12 converge quando:
|x| < 12
Como estamos integrando de 0 a , o intervalo de convergência para a série de também será:

Resposta

A série de MacLaurin da função f(x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 4^nn(2n+3) x^2n+3 é:
|x| < 12
E o intervalo de convergência dessa série é:

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