Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando séries de Maclaurin. A gente tem que calcular:
Pra isso, vamos precisar das expansões em série de Maclaurin das funções seno, exponencial e logarítmica. Assim, conseguimos simplificar a expressão e encontrar o limite quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir
usando a série de Maclaurin. A expansão da função seno é:
Aqui, substituímos
por
:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
por
:
Como estamos interessados em termos até
, podemos ignorar termos de ordem superior.
Passo 4
Seguimos para a expansão de
. A série de Maclaurin para a exponencial é:
Substituindo
por
:
Passo 5
Agora, vamos montar o numerador da nossa expressão original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos expandir o denominador
. A série de Maclaurin para o logaritmo natural é:
Substituindo
por
:
Passo 7
Agora, temos o numerador e o denominador expandidos:
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Quando
tende a 0, os termos com
vão sumir.