Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(f) lim x 0 x^2 sin (x^2)+e^x^4-1ln (1+x^4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando séries de Maclaurin. A gente tem que calcular:
lim x 0 x^2 sin (x^2)+e^x^4-1ln (1+x^4)
Pra isso, vamos precisar das expansões em série de Maclaurin das funções seno, exponencial e logarítmica. Assim, conseguimos simplificar a expressão e encontrar o limite quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir sin(z) = z - z^33! + z^55! - cdots usando a série de Maclaurin. A expansão da função seno é:
sin(x^2) = x^2 - (x^2)^33! + (x^2)^55! - cdots = x^2 - x^66 + x^10120 - cdots
Aqui, substituímos por :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar x^2 sin(x^2) = x^2 ( x^2 - x^66 + cdots ) = x^4 - x^86 + cdots por :
Como estamos interessados em termos até , podemos ignorar termos de ordem superior.

Passo 4

Seguimos para a expansão de e^w = 1 + w + w^22! + w^33! + cdots . A série de Maclaurin para a exponencial é:
e^x^4 = 1 + x^4 + x^82 + cdots
Substituindo por :

Passo 5

Agora, vamos montar o numerador da nossa expressão original:
x^2 sin(x^2) + e^x^4 - 1 = ( x^4 - x^86 + cdots ) + ( 1 + x^4 + x^82 + cdots ) - 1
Simplificando:
x^4 - x^86 + 1 + x^4 + x^82 - 1 = 2x^4 + ( -x^86 + x^82 ) + cdots = 2x^4 + x^83 + cdots

Passo 6

Agora, vamos expandir o denominador ln(1 + y) = y - y^22 + y^33 - cdots . A série de Maclaurin para o logaritmo natural é:
ln(1 + x^4) = x^4 - x^82 + cdots
Substituindo por :

Passo 7

Agora, temos o numerador e o denominador expandidos:
2x^4 + x^83 + cdotsx^4 - x^82 + cdots
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
2x^4x^4 + x^83x^4 + cdots = 2 + x^43 + cdots
Quando tende a 0, os termos com vão sumir.

Resposta

lim x 0 x^2 sin (x^2)+e^x^4-1ln (1+x^4) = 2

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