Mostre que a série de potências sumn=0^infty (-1)^n x^2 n3^2 n é convergente no intervalo (-3,3) e que sua soma é igual a S=99+x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a série de potências converge no intervalo e que a soma dessa série é igual a . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura dessa série. Observamos que ela é uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão comum. No nosso caso:

Passo 3

Para uma série geométrica | -x^29 | < 1 implies x^29 < 1 implies x^2 < 9 implies |x| < 3 convergir, o valor absoluto da razão precisa ser menor que 1, ou seja, . Vamos aplicar isso à nossa série:
Então, a série converge quando , o que nos dá o intervalo de .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a soma da série. Sabemos que a soma de uma série geométrica convergente é dada por:
S = a1 - r
Substituindo os valores de S = 11 - ( -x^29 ) = 11 + x^29 = 99 + x^2 e :

Resposta

A série de potências converge no intervalo e sua soma é igual a .

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