Mostre que a série de potências é convergente no intervalo e que sua soma é igual a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a série de potências converge no intervalo e que a soma dessa série é igual a . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura dessa série. Observamos que ela é uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão comum. No nosso caso:
Passo 3
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão precisa ser menor que 1, ou seja, . Vamos aplicar isso à nossa série:
Então, a série converge quando , o que nos dá o intervalo de .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a soma da série. Sabemos que a soma de uma série geométrica convergente é dada por:
S = a1 - r
Substituindo os valores de S = 11 - ( -x^29 ) = 11 + x^29 = 99 + x^2 e :
Resposta
A série de potências converge no intervalo e sua soma é igual a .