Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(e)
(e)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos desenvolver a função
em séries de Taylor e Maclaurin. Isso está dentro do estudo das séries de potências, onde representamos funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função cosseno e ajustar para o caso de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de Maclaurin para a função
. A série de Maclaurin é uma expansão em série de Taylor centrada em 0. A série de Maclaurin para
é dada por:
Isso significa que podemos escrever o cosseno como uma soma infinita de termos envolvendo
elevados a potências pares.
Passo 3
Agora, queremos a série para
. Para isso, vamos substituir
por
na série de Maclaurin que acabamos de relembrar. Assim, temos:
Isso adapta a série original para a função que estamos estudando.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
, porque
. Substituindo isso na série, temos:
Essa é a série de Taylor e Maclaurin para a função
.
Resposta
A série de Taylor e Maclaurin para
é:
Exercícios relacionados
Desenvolva a função
em séries de MacLaurin e determine o seu intervalo de convergência.
Mostre que a série de potências
é convergente no intervalo
e que sua soma é igual a
.
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(f)
(f)
Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(e)
(e)