Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(e) f(x) = cos(2x)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos desenvolver a função em séries de Taylor e Maclaurin. Isso está dentro do estudo das séries de potências, onde representamos funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função cosseno e ajustar para o caso de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Maclaurin para a função . A série de Maclaurin é uma expansão em série de Taylor centrada em 0. A série de Maclaurin para é dada por:
Isso significa que podemos escrever o cosseno como uma soma infinita de termos envolvendo elevados a potências pares.

Passo 3

Agora, queremos a série para . Para isso, vamos substituir por na série de Maclaurin que acabamos de relembrar. Assim, temos:
Isso adapta a série original para a função que estamos estudando.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão . Sabemos que , porque . Substituindo isso na série, temos:
Essa é a série de Taylor e Maclaurin para a função .

Resposta

A série de Taylor e Maclaurin para é:

Exercícios relacionados

Desenvolva a função f(x)=integral0^x t^2 ln (1+4 t^2) d t em séries de MacLaurin e determine o seu intervalo de convergência.
Mostre que a série de potências sumn=0^infty (-1)^n x^2 n3^2 n é convergente no intervalo (-3,3) e que sua soma é igual a S=99+x^2.
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(f) lim x 0 x^2 sin (x^2)+e^x^4-1ln (1+x^4)
Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(e) f(x) = x^3 / (x - 2)^2