Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(e) f(x) = cos(2x)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos desenvolver a função em séries de Taylor e Maclaurin. Isso está dentro do estudo das séries de potências, onde representamos funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função cosseno e ajustar para o caso de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Maclaurin para a função . A série de Maclaurin é uma expansão em série de Taylor centrada em 0. A série de Maclaurin para é dada por:
Isso significa que podemos escrever o cosseno como uma soma infinita de termos envolvendo elevados a potências pares.

Passo 3

Agora, queremos a série para . Para isso, vamos substituir por na série de Maclaurin que acabamos de relembrar. Assim, temos:
Isso adapta a série original para a função que estamos estudando.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão . Sabemos que , porque . Substituindo isso na série, temos:
Essa é a série de Taylor e Maclaurin para a função .

Resposta

A série de Taylor e Maclaurin para é:

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