Desenvolva um modelo matemático que descreve a temperatura de saída se ocorre perda de temperatura para o ambiente e se a temperatura ambiente e a temperatura da corrente de entrada podem variar.

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para criar um modelo matemático que descreva a temperatura de saída, levando em conta que há perda de calor para o ambiente. Neste exercício, a temperatura ambiente e a temperatura da corrente de entrada podem variar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor e equações diferenciais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que a perda de calor para o ambiente pode ser descrita pela Lei de Resfriamento de Newton, que nos diz que a taxa de perda de calor é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. Matematicamente, isso é expresso como:
onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor,
  • é a área de superfície pela qual ocorre a troca de calor,
  • é a temperatura do objeto (no caso, a corrente de saída),
  • é a temperatura ambiente.

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa perda de calor com a temperatura da corrente de saída. Supondo que a corrente de entrada possui uma potência térmica constante, podemos escrever a equação de balanço de energia:
í
Onde é a potência térmica da corrente de entrada e í é a potência térmica da corrente de saída.

Passo 4

Assumindo que a corrente de saída está em regime estacionário (ou seja, a temperatura não está mudando com o tempo), a derivada se torna zero. Assim, a equação de balanço de energia simplifica para:
í
Isso significa que a potência que entra é igual à potência que sai, sem perda de calor.

Passo 5

No entanto, como há perda de calor para o ambiente, precisamos ajustar nossa equação. A potência de saída agora será a potência da corrente de entrada menos a perda de calor:
í

Passo 6

Para encontrar a temperatura de saída , rearranjamos a equação:
í
Assumindo que a potência de saída é proporcional à temperatura de saída, podemos escrever:
í
onde é uma constante que depende das propriedades da corrente.

Passo 7

Substituindo na equação anterior:
Fatorando :

Passo 8

Finalmente, isolamos para obter o modelo matemático:

Resposta

A temperatura de saída é dada por:

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