Desenvolva um modelo matemático que descreve a temperatura de saída se ocorre perda de temperatura para o ambiente e se a temperatura ambiente
e a temperatura da corrente de entrada
podem variar.
Passo 1
Vamos lá! Você me pediu para criar um modelo matemático que descreva a temperatura de saída, levando em conta que há perda de calor para o ambiente. Neste exercício, a temperatura ambiente
e a temperatura da corrente de entrada
podem variar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor e equações diferenciais básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que a perda de calor para o ambiente pode ser descrita pela Lei de Resfriamento de Newton, que nos diz que a taxa de perda de calor é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. Matematicamente, isso é expresso como:
onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor, -
é a área de superfície pela qual ocorre a troca de calor, -
é a temperatura do objeto (no caso, a corrente de saída), -
é a temperatura ambiente.
Passo 3
Agora, vamos relacionar essa perda de calor com a temperatura da corrente de saída. Supondo que a corrente de entrada possui uma potência térmica constante, podemos escrever a equação de balanço de energia:
Onde
é a potência térmica da corrente de entrada e
é a potência térmica da corrente de saída.
Passo 4
Assumindo que a corrente de saída está em regime estacionário (ou seja, a temperatura não está mudando com o tempo), a derivada
se torna zero. Assim, a equação de balanço de energia simplifica para:
Isso significa que a potência que entra é igual à potência que sai, sem perda de calor.
Passo 5
No entanto, como há perda de calor para o ambiente, precisamos ajustar nossa equação. A potência de saída agora será a potência da corrente de entrada menos a perda de calor:
Passo 6
Para encontrar a temperatura de saída
, rearranjamos a equação:
Assumindo que a potência de saída é proporcional à temperatura de saída, podemos escrever:
onde
é uma constante que depende das propriedades da corrente.
Passo 7
Substituindo na equação anterior:
Fatorando
:
Passo 8
Finalmente, isolamos
para obter o modelo matemático:
Resposta
A temperatura de saída
é dada por:
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