Desenvolva um modelo matemático que descreve a temperatura de saída se ocorre perda de temperatura para o ambiente e se a temperatura ambiente a(Ta) e a temperatura da corrente de entrada (Ti) podem variar.

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para criar um modelo matemático que descreva a temperatura de saída, levando em conta que há perda de calor para o ambiente. Neste exercício, a temperatura ambiente a(Ta) e a temperatura da corrente de entrada (Ti) podem variar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor e equações diferenciais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que a perda de calor para o ambiente pode ser descrita pela Lei de Resfriamento de Newton, que nos diz que a taxa de perda de calor é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. Matematicamente, isso é expresso como:
dQdt = h cdot A cdot (T - Ta)
onde:
  • h é o coeficiente de transferência de calor,
  • A é a área de superfície pela qual ocorre a troca de calor,
  • T é a temperatura do objeto (no caso, a corrente de saída),
  • Ta é a temperatura ambiente.

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa perda de calor com a temperatura da corrente de saída. Supondo que a corrente de entrada possui uma potência térmica constante, podemos escrever a equação de balanço de energia:
dotQentrada = dotQsaída + dQdt í
Onde dotQentrada é a potência térmica da corrente de entrada e dotQsaídaí é a potência térmica da corrente de saída.

Passo 4

Assumindo que a corrente de saída está em regime estacionário (ou seja, a temperatura não está mudando com o tempo), a derivada dQdt se torna zero. Assim, a equação de balanço de energia simplifica para:
dotQentrada = dotQsaída í
Isso significa que a potência que entra é igual à potência que sai, sem perda de calor.

Passo 5

No entanto, como há perda de calor para o ambiente, precisamos ajustar nossa equação. A potência de saída agora será a potência da corrente de entrada menos a perda de calor:
dotQsaída = dotQentrada - h cdot A cdot (Tsaida - Ta) í

Passo 6

Para encontrar a temperatura de saída Tsaida, rearranjamos a equação:
dotQsaída + h cdot A cdot (Tsaida - Ta) = dotQentrada í
Assumindo que a potência de saída é proporcional à temperatura de saída, podemos escrever:
dotQsaída = k cdot Tsaida í
onde k é uma constante que depende das propriedades da corrente.

Passo 7

Substituindo na equação anterior:
k cdot Tsaida + h cdot A cdot Tsaida - h cdot A cdot Ta = dotQentrada
Fatorando Tsaida:
Tsaida (k + h cdot A) = dotQentrada + h cdot A cdot Ta

Passo 8

Finalmente, isolamos Tsaida para obter o modelo matemático:
Tsaida = dotQentrada + h cdot A cdot Tak + h cdot A

Resposta

A temperatura de saída Tsaida é dada por:
Tsaida = dotQentrada + h cdot A cdot Tak + h cdot A

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