A tubulação ABC, em PVC, de 200 mm de diâmetro e 1600 m de extensão, é alimentada por um reservatório que tem o nível de água na cota 80,0. No meio da tubulação está localizado o ponto mais alto, ponto B, de cota 75,0 onde está instalado um piezômetro. A extremidade
descarrega livremente na atmosfera na cota 40, onde existe um controlador de vazão. Determinar a vazão escoada, e a seção de abertura do controlador de vazão, quando a pressão em B é nula.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Identificação dos Conteúdos Necessários
Vamos resolver um exercício de hidráulica aplicado a tubulações. Temos uma tubulação ABC de PVC com diâmetro de 200 mm e comprimento de 1600 m, alimentada por um reservatório situado a uma cota de 80,0 m. No ponto B, localizado no meio da tubulação, há um piezômetro na cota de 75,0 m onde a pressão é nula. A extremidade C descarrega na atmosfera na cota de 40,0 m e possui um controlador de vazão. Precisamos determinar:
- Vazão escoada na tubulação.
- Seção de abertura do controlador de vazão quando a pressão no ponto B é nula.
Conteúdos que vamos precisar:
- Equação de Bernoulli: Para analisar a conservação de energia no fluxo.
- Perda de Carga por Atrito: Cálculo das perdas de energia devido à fricção no interior da tubulação, que influencia a vazão.
- Equação de Continuidade: Relaciona a vazão com a área da seção da tubulação.
- Equação do Controlador de Vazão: Para determinar a abertura necessária do controlador com base na vazão.
Passo 2
Identificando as Cotas e Pressões nos Pontos Chave
Vamos primeiro identificar as cotas fornecidas no enunciado:
- Reservatório: cota
m. - Ponto B (piezômetro): cota
m, pressão (pressão atmosférica). - Ponto C: cota
m, descarrega na atmosfera.
Como o ponto C também está à pressão atmosférica, podemos considerar que
.
Passo 3
Aplicando a Equação de Bernoulli entre os Pontos A e C
A equação de Bernoulli para dois pontos em uma tubulação aberta pode ser escrita como:
Onde:
-
= cota (m) -
= pressão (Pa) -
= peso específico da água ( N/m³) -
= velocidade do fluxo (m/s) -
= aceleração da gravidade ( m/s²) -
= perda de carga por atrito (m)
Simplificações:
- Como os pontos A e C estão abertos à atmosfera,
, então e podem ser cancelados. - A velocidade no reservatório
é aproximadamente zero devido ao grande volume, então tamb��m pode ser descartada.
Assim, a equação de Bernoulli simplificada fica:
Passo 4
Calculando a Perda de Carga por Atrito (
)
A perda de carga por atrito em uma tubulação pode ser calculada pela equação de Darcy-Weisbach:
Onde:
-
= fator de atrito de Darcy -
= comprimento da tubulação (m) -
= diâmetro da tubulação (m) -
= velocidade do fluxo (m/s)
Para encontrar
, vamos utilizar a Equação de Colebrook-White, que relaciona o fator de atrito com a rugosidade da tubulação e o número de Reynolds. No entanto, para simplificar, assumiremos que a tubulação está em regime turbulento e utilizaremos um valor típico de
.
Passo 5
Relacionando as Cotas e Calculando a Velocidade
Voltando à equação de Bernoulli simplificada:
Isolando
:
Substituindo os valores conhecidos:
-
m -
m -
m -
m -
-
m/s²
Calculando o fator dentro do parênteses:
Então:
Isolando
:
Calculando
:
Passo 6
Calculando a Vazão
A vazão
pode ser calculada usando a equação de continuidade:
Onde:
-
= área da seção transversal da tubulação (m²) -
= velocidade do fluxo (m/s)
Primeiro, calculamos a área
:
Então, a vazão
:
Convertendo para litros por segundo (1 m³/s = 1000 L/s):
Passo 7
Determinando a Seção de Abertura do Controlador de Vazão
Para determinar a seção de abertura do controlador de vazão, consideramos que a abertura atua como um orifício que limita a vazão. A equação da vazão através de um orifício pode ser expressa por:
Onde:
-
= coeficiente de descarga (assumimos ) -
= área da abertura do controlador (m²) -
= diferença de cota que impulsiona o fluxo (m)
Rearranjando para
:
Primeiro, identificamos
. Considerando que o controlador está na extremidade C (cota 40,0 m) e o reservatório está a 80,0 m, a diferença de cota é:
Substituindo os valores:
Calculando o denominador:
Então:
Convertendo para centímetros quadrados (1 m² = 10 000 cm²):
Resposta
A vazão escoada na tubulação é de aproximadamente 69,4 litros por segundo, e a seção de abertura do controlador de vazão necessária quando a pressão em B é nula é de cerca de 41,3 cm².
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