A tubulação ABC, em PVC, de 200 mm de diâmetro e 1600 m de extensão, é alimentada por um reservatório que tem o nível de água na cota 80,0. No meio da tubulação está localizado o ponto mais alto, ponto B, de cota 75,0 onde está instalado um piezômetro. A extremidade C descarrega livremente na atmosfera na cota 40, onde existe um controlador de vazão. Determinar a vazão escoada, e a seção de abertura do controlador de vazão, quando a pressão em B é nula.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Identificação dos Conteúdos Necessários
Vamos resolver um exercício de hidráulica aplicado a tubulações. Temos uma tubulação ABC de PVC com diâmetro de 200 mm e comprimento de 1600 m, alimentada por um reservatório situado a uma cota de 80,0 m. No ponto B, localizado no meio da tubulação, há um piezômetro na cota de 75,0 m onde a pressão é nula. A extremidade C descarrega na atmosfera na cota de 40,0 m e possui um controlador de vazão. Precisamos determinar:
  1. Vazão escoada na tubulação.
  2. Seção de abertura do controlador de vazão quando a pressão no ponto B é nula.
Conteúdos que vamos precisar:
  • Equação de Bernoulli: Para analisar a conservação de energia no fluxo.
  • Perda de Carga por Atrito: Cálculo das perdas de energia devido à fricção no interior da tubulação, que influencia a vazão.
  • Equação de Continuidade: Relaciona a vazão com a área da seção da tubulação.
  • Equação do Controlador de Vazão: Para determinar a abertura necessária do controlador com base na vazão.

Passo 2

Identificando as Cotas e Pressões nos Pontos Chave
Vamos primeiro identificar as cotas fornecidas no enunciado:
  • Reservatório: cota m.
  • Ponto B (piezômetro): cota m, pressão (pressão atmosférica).
  • Ponto C: cota m, descarrega na atmosfera.
Como o ponto C também está à pressão atmosférica, podemos considerar que .

Passo 3

Aplicando a Equação de Bernoulli entre os Pontos A e C
A equação de Bernoulli para dois pontos em uma tubulação aberta pode ser escrita como:
ZA + PAgamma + VA^22g = ZC + PCgamma + VC^22g + hf
Onde:
  • ZA = ZC + VC^22g + hf = cota (m)
  • = pressão (Pa)
  • = peso específico da água ( N/m³)
  • = velocidade do fluxo (m/s)
  • = aceleração da gravidade ( m/s²)
  • = perda de carga por atrito (m)
Simplificações:
  • Como os pontos A e C estão abertos à atmosfera, , então e podem ser cancelados.
  • A velocidade no reservatório é aproximadamente zero devido ao grande volume, então tamb��m pode ser descartada.
Assim, a equação de Bernoulli simplificada fica:

Passo 4

Calculando a Perda de Carga por Atrito ( hf = f cdot LD cdot V^22g )
A perda de carga por atrito em uma tubulação pode ser calculada pela equação de Darcy-Weisbach:
Onde:
  • = fator de atrito de Darcy
  • = comprimento da tubulação (m)
  • = diâmetro da tubulação (m)
  • = velocidade do fluxo (m/s)
Para encontrar , vamos utilizar a Equação de Colebrook-White, que relaciona o fator de atrito com a rugosidade da tubulação e o número de Reynolds. No entanto, para simplificar, assumiremos que a tubulação está em regime turbulento e utilizaremos um valor típico de .

Passo 5

Relacionando as Cotas e Calculando a Velocidade ZA = ZC + VC^22g + f cdot LD cdot VC^22g
Voltando à equação de Bernoulli simplificada:
ZA - ZC = VC^22g (1 + f cdot LD)
Isolando 80,0 - 40,0 = VC^22 cdot 9,81 (1 + 0,02 cdot 16000,2) :
1 + 0,02 cdot 16000,2 = 1 + 0,02 cdot 8000 = 1 + 160 = 161
Substituindo os valores conhecidos:
  • 40,0 = VC^219,62 cdot 161 m
  • VC^2 = 40,0 cdot 19,62161 approx 784,8161 approx 4,878 (m^2/s^2) m
  • VC = raiz4,878 approx 2,21 (m/s) m
  • m
  • m/s²
Calculando o fator dentro do parênteses:
Então:
Isolando :
Calculando :

Passo 6

Calculando a Vazão Q = A cdot V
A vazão A = pi D^24 = pi (0,2)^24 = pi cdot 0,044 = 0,12564 approx 0,0314 (m^2) pode ser calculada usando a equação de continuidade:
Q = 0,0314 cdot 2,21 approx 0,0694 (m^3/s)
Onde:
  • Q approx 69,4 (L/s) = área da seção transversal da tubulação (m²)
  • = velocidade do fluxo (m/s)
Primeiro, calculamos a área :
Então, a vazão :
Convertendo para litros por segundo (1 m³/s = 1000 L/s):

Passo 7

Determinando a Seção de Abertura do Controlador de Vazão
Para determinar a seção de abertura do controlador de vazão, consideramos que a abertura atua como um orifício que limita a vazão. A equação da vazão através de um orifício pode ser expressa por:
Q = Cd cdot Ac cdot raiz2g De
Onde:
  • Ac = QCd cdot raiz2g De = coeficiente de descarga (assumimos De)
  • Ac = 0,06940,6 cdot raiz2 cdot 9,81 cdot 40,0 = área da abertura do controlador (m²)
  • raiz2 cdot 9,81 cdot 40,0 = raiz784,8 approx 28,0 (m/s) = diferença de cota que impulsiona o fluxo (m)
Rearranjando para Ac = 0,06940,6 cdot 28,0 = 0,069416,8 approx 0,00413 (m^2) :
Ac approx 0,00413 cdot 10,000 approx 41,3 (cm^2)
Primeiro, identificamos . Considerando que o controlador está na extremidade C (cota 40,0 m) e o reservatório está a 80,0 m, a diferença de cota é:
Substituindo os valores:
Calculando o denominador:
Então:
Convertendo para centímetros quadrados (1 m² = 10 000 cm²):

Resposta

A vazão escoada na tubulação é de aproximadamente 69,4 litros por segundo, e a seção de abertura do controlador de vazão necessária quando a pressão em B é nula é de cerca de 41,3 cm².

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