Calcule as integrais impróprias, se possível, ou demonstre que a função não é integrável no intervalo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra calcular uma integral imprópria:
. Isso envolve calcular áreas onde a função pode ter algum comportamento estranho, tipo infinito, dentro do intervalo de
a
. Vamos precisar saber sobre integrais impróprias e como lidar com funções que têm pontos problemáticos, como quando o denominador fica zero.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar pra função dentro da integral:
. O
significa que a função é simétrica em relação ao eixo y. Agora, o que pode dar problema aqui é quando
, porque aí o denominador fica zero e a função tende ao infinito. Então, a gente precisa dividir a integral em duas partes: uma de
até
e outra de
até
.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira parte:
. Como
é negativo nesse intervalo,
. Então, a integral fica
. Fazendo uma substituição, vamos deixar a integral mais fácil:
Substituindo na integral:
A integral de
é
, então:
Passo 4
Agora vamos calcular a segunda parte:
. Aqui,
porque
é positivo. A integral de
é novamente
, então:
Passo 5
Agora, para encontrar o valor total da integral original, a gente soma as duas partes que calculamos:
Isso porque ambas as integrais são convergentes e não têm problemas de integrabilidade no intervalo dado.
Resposta
A integral
é igual a
.
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