Calcule as integrais impróprias, se possível, ou demonstre que a função não é integrável no intervalo: integral-2^5 d xraiz|x|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra calcular uma integral imprópria: . Isso envolve calcular áreas onde a função pode ter algum comportamento estranho, tipo infinito, dentro do intervalo de a . Vamos precisar saber sobre integrais impróprias e como lidar com funções que têm pontos problemáticos, como quando o denominador fica zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar pra função dentro da integral: . O significa que a função é simétrica em relação ao eixo y. Agora, o que pode dar problema aqui é quando , porque aí o denominador fica zero e a função tende ao infinito. Então, a gente precisa dividir a integral em duas partes: uma de até e outra de até .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira parte: x = -t Rightarrow dx = -dt . Como integral-2^0 dxraiz-x = integral2^0 -dtraizt = integral0^2 dtraizt é negativo nesse intervalo, integral0^2 dtraizt = 2raiz2 - 2raiz0 = 2raiz2 . Então, a integral fica . Fazendo uma substituição, vamos deixar a integral mais fácil:
Substituindo na integral:
A integral de é , então:

Passo 4

Agora vamos calcular a segunda parte: integral0^5 dxraizx = 2raiz5 - 2raiz0 = 2raiz5 . Aqui, porque é positivo. A integral de é novamente , então:

Passo 5

Agora, para encontrar o valor total da integral original, a gente soma as duas partes que calculamos:
2raiz2 + 2raiz5
Isso porque ambas as integrais são convergentes e não têm problemas de integrabilidade no intervalo dado.

Resposta

A integral é igual a .

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