integral-raiz2^raiz2 12-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais, uma técnica que ajuda a simplificar integrais de funções que são quocientes de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador 2 - x^2 = (raiz2)^2 - x^2 = (raiz2 - x)(raiz2 + x) de uma forma mais fácil de trabalhar. Sabemos que:
12 - x^2 = 1(raiz2 - x)(raiz2 + x)
Então, nossa fração fica:

Passo 3

Agora, vamos decompôr essa fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes 1(raiz2 - x)(raiz2 + x) = Araiz2 - x + Braiz2 + x e 1 = A(raiz2 + x) + B(raiz2 - x) tais que:
1 = A(2raiz2) Rightarrow A = 12raiz2
Multiplicando ambos os lados por 1 = B(2raiz2) Rightarrow B = 12raiz2 , temos:
12 - x^2 = 12raiz2 ( 1raiz2 - x + 1raiz2 + x )
Para encontrar e , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
Então, nossa fração parciais fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 12 - x^2 , dx = 12raiz2 ( integral 1raiz2 - x , dx + integral 1raiz2 + x , dx )
As integrais individuais são:
integral 1raiz2 - x , dx = -ln|raiz2 - x| + C
integral 1raiz2 + x , dx = ln|raiz2 + x| + C
Então, juntando tudo:
integral 12 - x^2 , dx = 12raiz2 ( -ln|raiz2 - x| + ln|raiz2 + x| ) + C
Isso pode ser simplificado para:
12raiz2 ln| raiz2 + xraiz2 - x | + C

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 12raiz2 ln| raiz2 + xraiz2 - x | |-raiz2^raiz2 a ln| 2raiz20 | ln(infty) infty :
ln| 02raiz2 | ln(0) -infty
Ao substituir :
E ao substituir :
Isso indica que a integral possui uma descontinuidade infinita nos limites e, portanto, a integral diverge.

Resposta

A integral é divergente e não possui um valor finito.

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