Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções: f(x)=e^(3 x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para desenvolver as séries de Taylor e Maclaurin para a função . Isso envolve entender como representar a função como uma soma infinita de termos usando as derivadas dela. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas das séries de Taylor e Maclaurin.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas suas derivadas em um ponto específico . A fórmula geral da série de Taylor é:

Passo 3

A série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor onde escolhemos . Assim, a série de Maclaurin para fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas da função :

Passo 5

Para a série de Maclaurin, precisamos das derivadas avaliadas em :

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula da série de Maclaurin, temos:
Isso pode ser escrito de forma mais compacta usando a notação de soma infinita:

Resposta

A série de Maclaurin para é:

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