Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para desenvolver as séries de Taylor e Maclaurin para a função
. Isso envolve entender como representar a função como uma soma infinita de termos usando as derivadas dela. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas das séries de Taylor e Maclaurin.
Passo 2
Primeiramente, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas suas derivadas em um ponto específico
. A fórmula geral da série de Taylor é:
Passo 3
A série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor onde escolhemos
. Assim, a série de Maclaurin para
fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas da função
:
Passo 5
Para a série de Maclaurin, precisamos das derivadas avaliadas em
:
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula da série de Maclaurin, temos:
Isso pode ser escrito de forma mais compacta usando a notação de soma infinita:
Resposta
A série de Maclaurin para
é: