Sendo f e g funções dadas, nos itens abaixo, exiba a lei de associação de g(f) e seus domínios, de cada item.
f(x) = cos(x) e g(x) = 1/x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve funções e composição de funções. O enunciado pede para encontrarmos a lei de associação da composição g(f) e determinarmos seus domínios. As funções dadas são e . Para isso, vamos precisar entender como compor duas funções e determinar os domínios das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a composição de funções. A composição g(f) significa que primeiro aplicamos a função f e depois aplicamos a função g no resultado de f. Matematicamente, isso é escrito como:

Passo 3

Agora, vamos calcular a composição g(f). Substituímos f(x) na função g:
Então, a lei de associação da composição g(f) é:

Passo 4

Em seguida, precisamos determinar o domínio da função composta g(f). O domínio de g(f) consiste em todos os valores de x no domínio de f tal que f(x) está no domínio de g.
  • Domínio de : A função cosseno está definida para todos os números reais, ou seja, x em R.
  • Domínio de : A função g está definida para todos os x diferentes de zero, ou seja, x != 0.
Portanto, para g(f) estar definido, precisamos que . Isso ocorre quando x não é um múltiplo ímpar de pi / 2, ou seja:

Resposta

A composição g(f) é dada por:
E o domínio de g(f) é todos os números reais x tais que:

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