No desenvolvimento de um novo remédio, pesquisadores monitoram a quantidade de uma substância circulando na corrente sanguínea de um paciente, ao longo do tempo t. Esses pesquisadores controlam o processo, observando que Q é uma função quadrática de t. Os dados coletados nas duas primeiras horas foram: t (horas) 0 1 2 Q (miligrama) 1 4 6 Para decidir se devem interromper o processo, evitando riscos ao paciente, os pesquisadores querem saber, antecipadamente, a quantidade da substância que estará circulando na corrente sanguínea desse paciente após uma hora do último dado coletado. nas condições expostas, essa quantidade (em miligrama) será igual a
a) 4
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre uma função quadrática que representa a quantidade de uma substância no sangue ao longo do tempo. A gente tem alguns dados: nas horas 0, 1 e 2, as quantidades são 1 mg, 4 mg e 6 mg, respectivamente. O objetivo é descobrir qual será a quantidade dessa substância uma hora depois do último dado coletado, ou seja, na hora 3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma $ Q(t) = at^2 + bt + c $, onde $ a $, $ b $ e $ c $ são constantes que a gente precisa encontrar. A gente vai usar os dados que temos para montar um sistema de equações e resolver para $ a $, $ b $ e $ c $.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na função:
  1. Quando $ t = 0 $, $ Q(0) = 1 $:
    t = 0
  2. Quando $ t = 1 $, $ Q(1) = 4 $:
    Q(0) = 1
  3. Quando $ t = 2 $, $ Q(2) = 6 $:
    1 = a(0)^2 + b(0) + c Rightarrow c = 1

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + b = 3 4a + 2b = 5
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ b $ em termos de $ a $:
b
Substituindo na segunda equação:
a
Agora que temos $ a $, substituímos na expressão para $ b $:
b = 3 - a

Passo 5

Então, a função quadrática fica:
Q(t) = -12t^2 + 72t + 1
Agora, queremos saber a quantidade na hora 3:
Q(3) = -12(3)^2 + 72(3) + 1 = -92 + 212 + 1 = 122 + 1 = 6 + 1 = 7

Resposta

A quantidade da substância na corrente sanguínea após uma hora do último dado coletado será igual a 7 miligramas.

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