As desigualdades abaixo envolvem produtos e quocientes e podem ser resolvidas por meio do estudo do sinal, como na Questão 1. Resolva as desigualdades.
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Esse tipo de problema envolve racionalidades, ou seja, quocientes de polinômios. Para resolver, a gente vai precisar analisar onde essa fração é maior que 5.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer tudo para o lado esquerdo da desigualdade para facilitar a comparação. Subtraímos 5 de ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos em uma única fração. Para isso, precisamos ter o mesmo denominador:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:

Então, a desigualdade fica:

Passo 5

Observamos que o denominador é sempre positivo, porque é sempre não negativo, e qualquer coisa positiva mais 1 continua sendo positiva. Isso significa que o sinal da fração depende apenas do numerador.

Passo 6

Então, vamos analisar o numerador:

Passo 7

Esse é um polinômio do segundo grau. Para entender onde ele é positivo, vamos calcular o discriminante ( ) da equação quadrática:

Aqui, , , e .

Passo 8

Calculando o discriminante:

Passo 9

Como o discriminante é negativo ( ), isso significa que a equação quadrática não tem raízes reais. Além disso, o coeficiente de é negativo ( ), o que indica que a parábola está voltada para baixo e, portanto, o polinômio é sempre negativo.

Passo 10

Então, o numerador é sempre menor que zero para qualquer valor de . Como o denominador é sempre positivo, a fração inteira também é sempre negativa.

Passo 11

Como buscamos onde a fração é maior que zero ( ), e vimos que ela é sempre negativa, não existe nenhum valor de que satisfaça a desigualdade.

Resposta

A desigualdade não possui solução.

Exercícios relacionados

Estude o sinal de cada uma das expressões abaixo.
(f)
Determine o domínio e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
(i)
Resolva as equações abaixo.
(i)
Resolva as desigualdades abaixo.
(j)