As desigualdades abaixo envolvem produtos e quocientes e podem ser resolvidas por meio do estudo do sinal, como na Questão 1. Resolva as desigualdades.
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. Esse tipo de problema envolve racionalidades, ou seja, quocientes de polinômios. Para resolver, a gente vai precisar analisar onde essa fração é maior que 5.
Passo 2
Primeiro, vamos trazer tudo para o lado esquerdo da desigualdade para facilitar a comparação. Subtraímos 5 de ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos juntar os termos em uma única fração. Para isso, precisamos ter o mesmo denominador:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Então, a desigualdade fica:
Passo 5
Observamos que o denominador
é sempre positivo, porque
é sempre não negativo, e qualquer coisa positiva mais 1 continua sendo positiva. Isso significa que o sinal da fração depende apenas do numerador.
Passo 6
Então, vamos analisar o numerador:
Passo 7
Esse é um polinômio do segundo grau. Para entender onde ele é positivo, vamos calcular o discriminante (
) da equação quadrática:
Aqui,
Passo 8
Calculando o discriminante:
Passo 9
Como o discriminante é negativo (
), isso significa que a equação quadrática não tem raízes reais. Além disso, o coeficiente de
é negativo (
), o que indica que a parábola está voltada para baixo e, portanto, o polinômio é sempre negativo.
Passo 10
Então, o numerador
é sempre menor que zero para qualquer valor de
. Como o denominador é sempre positivo, a fração inteira
também é sempre negativa.
Passo 11
Como buscamos onde a fração é maior que zero (
), e vimos que ela é sempre negativa, não existe nenhum valor de
que satisfaça a desigualdade.
Resposta
A desigualdade não possui solução.
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Estude o sinal de cada uma das expressões abaixo.
(f)
(f)
Determine o domínio e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
(i)
(i)
Resolva as equações abaixo.
(i)
(i)
Resolva as desigualdades abaixo.
(j)
(j)