Determine o domínio e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e esboçar o gráfico da função . Aqui, estamos lidando com funções e analisando onde elas estão definidas (domínio) e como se comportam no gráfico. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de valor absoluto e como ele interage com a divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Aqui, temos uma divisão, então é importante que o denominador não seja zero, porque dividir por zero não é permitido na matemática.
Então, para , o denominador é . Precisamos garantir que .
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto .

Passo 3

Agora, vamos entender como a função se comporta dependendo do valor de :
  1. Quando :
    • O valor absoluto de é igual a , ou seja, .
    • Então, a função fica:
    • Isso significa que, para qualquer positivo, vale 1.
  2. Quando :
    • O valor absoluto de é igual a , pois é negativo. Então, .
    • Assim, a função fica:
    • Portanto, para qualquer negativo, vale -1.
  3. Quando :
    • Como já vimos, a função não está definida nesse ponto, então não consideramos no gráfico.

Passo 4

Com base nas análises anteriores, vamos esboçar o gráfico:
  • Para , a função é uma linha horizontal no valor .
  • Para , a função é uma linha horizontal no valor .
  • No ponto , há uma descontinuidade porque a função não está definida ali. No gráfico, representamos isso com um círculo aberto no ponto onde a função não existe.

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais tais que .
  • Gráfico:
    • Uma linha horizontal em para .
    • Uma linha horizontal em para .
    • Um círculo aberto em indicando que a função não está definida nesse ponto.

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