Estude o sinal de cada uma das expressões abaixo.
(f) -x(x^2 - 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que estudar o sinal da expressão -x(x^2 - 4). Isso significa descobrir para quais valores de x essa expressão é positiva, negativa ou igual a zero. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sinais e trabalhar com polinômios.

Passo 2

Primeiro passo para estudar o sinal de uma expressão é encontrar os valores críticos, ou seja, os valores de x que fazem a expressão igual a zero. Vamos resolver a equação:

Passo 3

Resolvendo a equação:
Então,
Portanto, os valores críticos são , x = 0 e x = 2.

Passo 4

Esses valores críticos dividem a reta numérica em quatro intervalos. Vamos listar esses intervalos:
  1. x > 2
Vamos analisar o sinal da expressão em cada um desses intervalos.

Passo 5

Para cada intervalo, escolhemos um número de teste e substituímos na expressão -x(x^2 - 4) para ver se o resultado é positivo ou negativo.
  • Intervalo 1: (por exemplo, )
  • Intervalo 2: (por exemplo, )
  • Intervalo 3: (por exemplo, )
  • Intervalo 4: (por exemplo, x = 1)

Passo 6

Agora, resumindo os sinais encontrados:
  • Para : A expressão é positiva.
  • Para : A expressão é negativa.
  • Para : A expressão é positiva.
  • Para x > 2: A expressão é negativa.
  • Nos pontos , x = 0 e x = 2: A expressão é igual a zero.

Resposta

A expressão -x(x^2 - 4) é:
  • Positiva para e ;
  • Negativa para e x > 2;
  • Igual a zero nos pontos , x = 0 e x = 2.

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