Quais das desiguldades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique: (u times v) times w=u times(v times w).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a igualdade é sempre verdadeira ou não. Isso está relacionado ao produto vetorial e suas propriedades na álgebra vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o produto vetorial e as regras que ele segue.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial . Ele resulta em um vetor que é perpendicular aos vetores e , com magnitude igual à área do paralelogramo formado por esses vetores. Importante: o produto vetorial não é comutativo nem associativo em geral.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Primeiro calculamos , que dá um vetor perpendicular a e . Depois, fazemos o produto vetorial desse resultado com .

Passo 4

Por outro lado, na expressão , primeiro calculamos , que também é um vetor perpendicular a e , e depois fazemos o produto vetorial desse vetor com .

Passo 5

Para ver se essas duas expressões são iguais, precisamos verificar se o produto vetorial é associativo, ou seja, se . Sabemos que, na álgebra vetorial, o produto vetorial não é associativo em geral.

Passo 6

Isso significa que, em geral, não é igual a . A igualdade só seria verdadeira em casos específicos, como quando um dos vetores é o vetor nulo, mas não é uma regra geral.

Resposta

A igualdade nem sempre é verdadeira. O produto vetorial não é associativo de forma geral, portanto a expressão só vale em casos específicos.

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