Quais das desiguldades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a igualdade
é sempre verdadeira ou não. Isso está relacionado ao produto vetorial e suas propriedades na álgebra vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o produto vetorial e as regras que ele segue.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial
. Ele resulta em um vetor que é perpendicular aos vetores
e
, com magnitude igual à área do paralelogramo formado por esses vetores. Importante: o produto vetorial não é comutativo nem associativo em geral.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Primeiro calculamos
, que dá um vetor perpendicular a
e
. Depois, fazemos o produto vetorial desse resultado com
.
Passo 4
Por outro lado, na expressão
, primeiro calculamos
, que também é um vetor perpendicular a
e
, e depois fazemos o produto vetorial desse vetor com
.
Passo 5
Para ver se essas duas expressões são iguais, precisamos verificar se o produto vetorial é associativo, ou seja, se
. Sabemos que, na álgebra vetorial, o produto vetorial não é associativo em geral.
Passo 6
Isso significa que, em geral,
não é igual a
. A igualdade só seria verdadeira em casos específicos, como quando um dos vetores é o vetor nulo, mas não é uma regra geral.
Resposta
A igualdade
nem sempre é verdadeira. O produto vetorial não é associativo de forma geral, portanto a expressão só vale em casos específicos.