Vamos dar uma resumida no que a pergunta está pedindo. Temos dois vetores que dependem de :
Precisamos descobrir a derivada em relação a do produto escalar e do produto vetorial . Para isso, vamos usar as regras de derivação para produtos escalares e vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar :
Substituindo os valores dos vetores:
Agora, vamos derivar cada termo em relação a :
Aplicando as regras de derivação:
Somando tudo:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial . A fórmula do produto vetorial é:
Substituindo os valores dos vetores:
ddt(2t^2 sin t - 3t^3 cos t) = 4t sin t - 7t^2 cos t + 3t^3 sin t
Agora, vamos derivar cada componente em relação a ddt(3t^4 - sin t) = 12t^3 - cos t :
Primeira componente:
ddt(cos t - 2t^3) = -sin t - 6t^2
Segunda componente:
ddt[u times v] = (4t sin t - 7t^2 cos t + 3t^3 sin t, 12t^3 - cos t, -sin t - 6t^2)
Terceira componente:
Portanto, a derivada do produto vetorial é:
Resposta
A derivada do produto escalar é:
ddt [u cdot v] = 1 + 4t cos t + 7t^2 sin t + 3t^3 cos t
E a derivada do produto vetorial é:
ddt [u times v] = (4t sin t - 7t^2 cos t + 3t^3 sin t, 12t^3 - cos t, -sin t - 6t^2)