Se u(t)=(1,2 t^2, 3 t^3) e v(t)=(t, cos t, sin t), determine dd t[u cdot v] e dd t[u times v].

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a pergunta está pedindo. Temos dois vetores que dependem de u(t) = (1, 2t^2, 3t^3) e v(t) = (t, cos t, sin t) :
Precisamos descobrir a derivada em relação a do produto escalar e do produto vetorial . Para isso, vamos usar as regras de derivação para produtos escalares e vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 :
u cdot v = 1 cdot t + 2t^2 cdot cos t + 3t^3 cdot sin t
Substituindo os valores dos vetores:
ddt[u cdot v] = ddt(t) + ddt(2t^2 cos t) + ddt(3t^3 sin t)
Agora, vamos derivar cada termo em relação a ddt(t) = 1 :
ddt(2t^2 cos t) = 2 cdot (2t cos t - t^2 sin t)
Aplicando as regras de derivação:
ddt(3t^3 sin t) = 3 cdot (3t^2 sin t + t^3 cos t)
ddt[u cdot v] = 1 + 4t cos t - 2t^2 sin t + 9t^2 sin t + 3t^3 cos t
ddt[u cdot v] = 1 + 4t cos t + 7t^2 sin t + 3t^3 cos t
Somando tudo:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial u times v = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 . A fórmula do produto vetorial é:
u times v = (2t^2 sin t - 3t^3 cos t, 3t^4 - sin t, cos t - 2t^3)
Substituindo os valores dos vetores:
ddt(2t^2 sin t - 3t^3 cos t) = 4t sin t - 7t^2 cos t + 3t^3 sin t
Agora, vamos derivar cada componente em relação a ddt(3t^4 - sin t) = 12t^3 - cos t :
  1. Primeira componente:
ddt(cos t - 2t^3) = -sin t - 6t^2
  1. Segunda componente:
ddt[u times v] = (4t sin t - 7t^2 cos t + 3t^3 sin t, 12t^3 - cos t, -sin t - 6t^2)
  1. Terceira componente:
Portanto, a derivada do produto vetorial é:

Resposta

A derivada do produto escalar é:
ddt [u cdot v] = 1 + 4t cos t + 7t^2 sin t + 3t^3 cos t
E a derivada do produto vetorial é:
ddt [u times v] = (4t sin t - 7t^2 cos t + 3t^3 sin t, 12t^3 - cos t, -sin t - 6t^2)

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