Resolva usando o método de Gauss-Jordan
c 2 x+4 y=16 5 x-2 y=4 3 x+y=9 4 x-5 y=-7

Passo 1

Beleza, temos um sistema de equações lineares com duas variáveis, e . Vamos usar o método de Gauss-Jordan para resolver esse sistema. O método ajuda a encontrar os valores de e isolando as incógnitas através de operações nas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada, que inclui os coeficientes das variáveis e os números do lado direito das equações. O sistema dado é:
2x + 4y = 16 5x - 2y = 4 3x + y = 9 4x - 5y = -7
A matriz aumentada fica assim:
2 & 4 & | & 16 5 & -2 & | & 4 3 & 1 & | & 9 4 & -5 & | & -7

Passo 3

Vamos começar transformando a primeira linha para que o coeficiente de 1 & 2 & | & 8 5 & -2 & | & 4 3 & 1 & | & 9 4 & -5 & | & -7 seja 1. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 2:

Passo 4

Agora, queremos eliminar o 5 - 5 = 0 e -2 - (5 times 2) = -12 e 4 - (5 times 8) = -36 das outras linhas usando a primeira linha. Fazemos isso subtraindo 5 vezes a primeira linha da segunda, 3 vezes a primeira linha da terceira e 4 vezes a primeira linha da quarta.
  • Linha 2: 3 - 3 = 0 e 1 - (3 times 2) = -5 e 9 - (3 times 8) = -15 - 4 - 4 = 0 e -5 - (4 times 2) = -13 e -7 - (4 times 8) = -39 Linha 1
    1 & 2 & | & 8 0 & -12 & | & -36 0 & -5 & | & -15 0 & -13 & | & -39
    Então, Linha 2 fica:
  • Linha 3: - Linha 1
    Então, Linha 3 fica:
  • Linha 4: - Linha 1
    Então, Linha 4 fica:
A matriz agora fica:

Passo 5

Vamos simplificar as linhas 2, 3 e 4 dividindo pelo coeficiente de 0x + y = 3 :
  • Linha 2: Dividimos por -12:
    0x + y = 3
  • Linha 3: Dividimos por -5:
    0x + y = 3
  • Linha 4: Dividimos por -13:
    1 & 2 & | & 8 0 & 1 & | & 3 0 & 1 & | & 3 0 & 1 & | & 3
Agora, todas as três linhas resultantes informam que .
A matriz simplificada fica:

Passo 6

Com x + 2(3) = 8 x + 6 = 8 x = 8 - 6 x = 2 , vamos substituir esse valor na primeira linha para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é e .

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