No deslocamento para a universidade, um aluno primeiro pega um ônibus próximo à sua casa e, depois, pega outro de ônibus. O tempo total de espera (em minutos) nas duas paradas tem a seguinte f.d.p.
Qual é a probabilidade de o tempo total de espera ser:
i. no máximo 3 minutos?
ii. no máximo 8 minutos?
iii. entre 3 e 8 minutos?
iv. ser menos de 2 minutos ou mais de 6 minutos?
i. no máximo 3 minutos?
ii. no máximo 8 minutos?
iii. entre 3 e 8 minutos?
iv. ser menos de 2 minutos ou mais de 6 minutos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o tempo total que um aluno espera em duas paradas de ônibus. A função de densidade de probabilidade (f.d.p.) desse tempo está dividida em duas partes: de 0 a 5 minutos e de 5 a 10 minutos. Nosso trabalho é calcular algumas probabilidades específicas com base nessa f.d.p. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais para encontrar a área sob a curva da f.d.p. nos intervalos que nos interessam.
Passo 2
i. Qual é a probabilidade de o tempo total de espera ser no máximo 3 minutos?
Primeiro, vamos entender que “no máximo 3 minutos” significa que queremos a probabilidade de o tempo de espera ser entre 0 e 3 minutos. Como 3 está dentro do primeiro intervalo da f.d.p. (0 ≤ x < 5), usamos a primeira expressão da função.
A probabilidade $ P(X \leq 3) $ é dada pela integral da f.d.p. de 0 a 3:
Calculando a integral:
Avalie de 0 a 3:
Passo 3
ii. Qual é a probabilidade de o tempo total de espera ser no máximo 8 minutos?
Aqui, 8 minutos está dentro do segundo intervalo da f.d.p. (5 ≤ x ≤ 10). Para calcular $ P(X \leq 8) $, precisamos integrar a f.d.p. de 0 a 5 e depois de 5 a 8.
Primeiro, de 0 a 5:
Depois, de 5 a 8:
Calculando a integral:
Avalie de 5 a 8:
Simplificando:
Então, $ P(X \leq 8) = 0,5 + 0,42 = 0,92 $
Passo 4
iii. Qual é a probabilidade de o tempo total de espera ser entre 3 e 8 minutos?
Para encontrar $ P(3 \leq X \leq 8) $, calculamos $ P(X \leq 8) - P(X \leq 3) $:
Passo 5
iv. Qual é a probabilidade de o tempo total de espera ser menos de 2 minutos ou mais de 6 minutos?
Aqui, queremos $ P(X < 2 , ou , X > 6) $. Isso pode ser dividido em duas partes:
- $ P(X < 2) $
- $ P(X > 6) = 1 - P(X \leq 6) $
Calculando $ P(X < 2) $:
Como 2 está no primeiro intervalo:
Calculando $ P(X \leq 6) $:
Primeiro, de 0 a 5:
Depois, de 5 a 6:
Calculando a integral:
Simplificando:
Então, $ P(X \leq 6) = 0,5 + 0,18 = 0,68 $
Portanto, $ P(X > 6) = 1 - 0,68 = 0,32 $
Agora, somando as duas partes:
Resposta
i. A probabilidade de o tempo total de espera ser no máximo 3 minutos é 18%.
ii. A probabilidade de o tempo total de espera ser no máximo 8 minutos é 92%.
iii. A probabilidade de o tempo total de espera ser entre 3 e 8 minutos é 74%.
iv. A probabilidade de o tempo total de espera ser menos de 2 minutos ou mais de 6 minutos é 40%.