Seja
o número de componentes a serem substituídos em um sistema enviado para reparo. O número de componentes substituidos são
e 5 , com probabilidades correspondentes 0,
; 0,1 e 0,1 .
Seja
o custo (em reais) do reparo do sistema. Calcule
e
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que representa o número de componentes que precisam ser substituídos em um sistema enviado para reparo. Os possíveis valores de $ X $ são 0, 1, 2, 3, 4 e 5, com probabilidades correspondentes de 0,1; 0,2; 0,2; 0,3; 0,1 e 0,1, respectivamente.
Além disso, temos uma outra variável $ Y $ que representa o custo do reparo, dada por $ Y = 20X + 80 $. A questão pede para calcular a esperança matemática $ E(Y) $ e a variância $ \operatorname{Var}(Y) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de esperança e variância, além de como essas operações se comportam com transformações lineares de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a esperança matemática $ E(X) $ da variável $ X $. A esperança é basicamente a média ponderada dos valores possíveis de $ X $, ponderados pelas suas probabilidades.
A fórmula para a esperança é:
Vamos aplicar isso aos valores de $ X $:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada termo:
Somando todos esses valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância de $ X $, $ \operatorname{Var}(X) $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em torno da média $ E(X) $.
A fórmula para a variância é:
Primeiro, precisamos calcular $ E(X^2) $:
Vamos calcular cada termo:
Somando todos esses valores:
Agora, podemos calcular a variância:
Passo 5
Agora que temos $ E(X) = 2,4 $ e $ \operatorname{Var}(X) = 2,04 $, vamos calcular $ E(Y) $ e $ \operatorname{Var}(Y) $, onde $ Y = 20X + 80 $.
Para transformações lineares da forma $ Y = aX + b $, temos:
No nosso caso, $ a = 20 $ e $ b = 80 $.
Passo 6
Vamos calcular $ E(Y) $:
Agora, vamos calcular $ \operatorname{Var}(Y) $:
Resposta
A esperança matemática $ E(Y) $ é igual a R$ 128 e a variância $ \operatorname{Var}(Y) $ é igual a 816.