Quais destas relações em {0, 1, 2, 3} são relações de equivalência?
c { (0,0), (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3) }

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Estamos analisando se a relação sobre o conjunto é uma relação de equivalência. Para isso, precisamos verificar três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Reflexividade: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo no conjunto, o par deve estar na relação .
Vamos verificar:
  • está em
  • está em
  • está em
  • está em
Como todos os pares estão presentes, a relação é reflexiva.

Passo 3

Simetria: Uma relação é simétrica se, sempre que está em , então também está em .
Vamos verificar os pares:
  • é simétrico consigo mesmo.
  • é simétrico consigo mesmo.
  • está em , então também está em .
  • está em , então também está em .
  • é simétrico consigo mesmo.
  • é simétrico consigo mesmo.
Como todos os pares simétricos estão presentes, a relação é simétrica.

Passo 4

Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que e estão em , então também está em .
Vamos verificar:
  • e implicam , que está em .
  • e implicam , que está em .
  • Outros pares reflexivos não afetam a transitividade.
Como todos os casos possíveis mantêm a transitividade, a relação é transitiva.

Resposta

A relação é uma relação de equivalência porque satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.

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