Quais destas relações em
são relações de equivalência?
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Estamos analisando se a relação
sobre o conjunto
é uma relação de equivalência. Para isso, precisamos verificar três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Reflexividade: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo
no conjunto, o par
deve estar na relação
.
Vamos verificar:
-
está em -
está em -
está em -
está em
Como todos os pares
estão presentes, a relação
é reflexiva.
Passo 3
Simetria: Uma relação é simétrica se, sempre que
está em
, então
também está em
.
Vamos verificar os pares:
-
é simétrico consigo mesmo. -
é simétrico consigo mesmo. -
está em , então também está em . -
está em , então também está em . -
é simétrico consigo mesmo. -
é simétrico consigo mesmo.
Como todos os pares simétricos estão presentes, a relação
é simétrica.
Passo 4
Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que
e
estão em
, então
também está em
.
Vamos verificar:
-
e implicam , que está em . -
e implicam , que está em . - Outros pares reflexivos não afetam a transitividade.
Como todos os casos possíveis mantêm a transitividade, a relação
é transitiva.
Resposta
A relação
é uma relação de equivalência porque satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.
Exercícios relacionados
Para cada uma das relações abaixo no conjunto
, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Considerando
e
conjuntos, mostre que:
Dê um exemplo de uma relação em um conjunto que seja:
$(b) nem simétrica nem anti-simétrica
$(b) nem simétrica nem anti-simétrica
Determine se
é uma função de um conjunto de todas as cadeias de bits para o cojunjunto dos números inteiros se:
é o número de bit 1 em