Para cada uma das relações abaixo no conjunto , decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:

Passo 1

Vamos analisar o exercício: temos uma relação no conjunto . Precisamos determinar se essa relação é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica. Para isso, vamos utilizar os conceitos de relações reflexiva, simétrica, transitiva e anti-simétrica.

Passo 2

Reflexividade: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo , o par deve estar em .
Vamos verificar:
  • está em
  • está em
  • está em
  • está em
Todos os pares necessários estão presentes, então a relação é reflexiva.

Passo 3

Simetria: Uma relação é simétrica se, sempre que está em , então também está em .
Vamos verificar:
  • está em e também está em
  • está em e também está em
  • Os pares , , , e são simétricos consigo mesmos
Como todos os pares que requerem simetria cumprem essa condição, a relação é simétrica.

Passo 4

Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que e estão em , então também está em .
Vamos verificar as combinações possíveis:
  • e devem implicar , que está em
  • e devem implicar , que já está em
  • e devem implicar , que está em
  • Outros pares como , , , e já são reflexivos e não criam novas combinações
Todas as implicações necessárias estão presentes, então a relação é transitiva.

Passo 5

Anti-simetria: Uma relação é anti-simétrica se, sempre que e estão em , então .
Vamos verificar:
  • e estão em , mas
  • Isso viola a condição de anti-simetria
Portanto, a relação não é anti-simétrica.

Resposta

A relação é reflexiva, simétrica e transitiva, mas não é anti-simétrica.

Exercícios relacionados

Considerando e conjuntos, mostre que:
Encontre o conjunto das partes (conjunto potência) de cada conjunto:
Quais destas relações em são relações de equivalência?
Dê um exemplo de uma relação em um conjunto que seja:
$(b) nem simétrica nem anti-simétrica