Para cada uma das relações abaixo no conjunto
, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Passo 1
Vamos analisar o exercício: temos uma relação
no conjunto
. Precisamos determinar se essa relação é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica. Para isso, vamos utilizar os conceitos de relações reflexiva, simétrica, transitiva e anti-simétrica.
Passo 2
Reflexividade: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo
, o par
deve estar em
.
Vamos verificar:
-
está em -
está em -
está em -
está em
Todos os pares necessários estão presentes, então a relação é reflexiva.
Passo 3
Simetria: Uma relação é simétrica se, sempre que
está em
, então
também está em
.
Vamos verificar:
-
está em e também está em -
está em e também está em - Os pares
, , , e são simétricos consigo mesmos
Como todos os pares que requerem simetria cumprem essa condição, a relação é simétrica.
Passo 4
Transitividade: Uma relação é transitiva se, sempre que
e
estão em
, então
também está em
.
Vamos verificar as combinações possíveis:
-
e devem implicar , que está em -
e devem implicar , que já está em -
e devem implicar , que está em - Outros pares como
, , , e já são reflexivos e não criam novas combinações
Todas as implicações necessárias estão presentes, então a relação é transitiva.
Passo 5
Anti-simetria: Uma relação é anti-simétrica se, sempre que
e
estão em
, então
.
Vamos verificar:
-
e estão em , mas - Isso viola a condição de anti-simetria
Portanto, a relação não é anti-simétrica.
Resposta
A relação é reflexiva, simétrica e transitiva, mas não é anti-simétrica.
Exercícios relacionados
Considerando
e
conjuntos, mostre que:
Encontre o conjunto das partes (conjunto potência) de cada conjunto:
Quais destas relações em
são relações de equivalência?
Dê um exemplo de uma relação em um conjunto que seja:
$(b) nem simétrica nem anti-simétrica
$(b) nem simétrica nem anti-simétrica