Dê um exemplo de uma relação em um conjunto que seja:
$(b) nem simétrica nem anti-simétrica

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um exemplo de uma relação em um conjunto que não seja simétrica nem anti-simétrica. Vamos precisar entender o que são essas relações e como identificar se elas são simétricas ou anti-simétricas para conseguir montar nosso exemplo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação. Em matemática, uma relação em um conjunto é simplesmente um conjunto de pares de elementos desse conjunto. Por exemplo, se temos um conjunto , uma relação poderia ser .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre ser simétrica. Uma relação é simétrica se, sempre que um par está em , o par também está. Por exemplo, se está em , então também deve estar para que seja simétrica.

Passo 4

Por outro lado, uma relação é anti-simétrica se, sempre que tanto quanto estão em , então deve ser igual a . Em outras palavras, não pode haver pares diferentes que se anulem nessa simetria.

Passo 5

Para a relação não ser simétrica, basta termos pelo menos um par que está em sem que esteja também. E para que ela não seja anti-simétrica, precisamos ter pelo menos um par e onde .

Passo 6

Vamos criar um exemplo! Considere o conjunto e defina a relação como:
Vamos analisar:
  • Simetria: Temos e , mas não tem . Então, não é simétrica.
  • Anti-simetria: Como temos e em e , isso viola a anti-simetria. Portanto, não é anti-simétrica.

Resposta

Um exemplo de relação que é nem simétrica nem anti-simétrica no conjunto é:

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Quais destas relações em são relações de equivalência?
Para cada uma das relações abaixo no conjunto , decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Determine se é uma função de um conjunto de todas as cadeias de bits para o cojunjunto dos números inteiros se:
é o número de bit 1 em
Determine se cada uma das funções abaixo são bijetoras de para :