Dê um exemplo de uma relação em um conjunto que seja:
$(b) nem simétrica nem anti-simétrica
$(b) nem simétrica nem anti-simétrica
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um exemplo de uma relação em um conjunto que não seja simétrica nem anti-simétrica. Vamos precisar entender o que são essas relações e como identificar se elas são simétricas ou anti-simétricas para conseguir montar nosso exemplo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação. Em matemática, uma relação em um conjunto é simplesmente um conjunto de pares de elementos desse conjunto. Por exemplo, se temos um conjunto
, uma relação
poderia ser
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre ser simétrica. Uma relação
é simétrica se, sempre que um par
está em
, o par
também está. Por exemplo, se
está em
, então
também deve estar para que
seja simétrica.
Passo 4
Por outro lado, uma relação
é anti-simétrica se, sempre que tanto
quanto
estão em
, então
deve ser igual a
. Em outras palavras, não pode haver pares diferentes que se anulem nessa simetria.
Passo 5
Para a relação não ser simétrica, basta termos pelo menos um par
que está em
sem que
esteja também. E para que ela não seja anti-simétrica, precisamos ter pelo menos um par
e
onde
.
Passo 6
Vamos criar um exemplo! Considere o conjunto
e defina a relação
como:
Vamos analisar:
-
Simetria: Temos
e , mas não tem . Então, não é simétrica. -
Anti-simetria: Como temos
e em e , isso viola a anti-simetria. Portanto, não é anti-simétrica.
Resposta
Um exemplo de relação que é nem simétrica nem anti-simétrica no conjunto
é:
Exercícios relacionados
Quais destas relações em
são relações de equivalência?
Para cada uma das relações abaixo no conjunto
, decida se ela é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-simétrica:
Determine se
é uma função de um conjunto de todas as cadeias de bits para o cojunjunto dos números inteiros se:
é o número de bit 1 em
Determine se cada uma das funções abaixo são bijetoras de
para
: