Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a.
com f.d.p.
Qual a renda média nessa localidade?
Passo 1
Então, temos um exercício de estatística sobre distribuição de renda em uma localidade. A renda é representada pela variável aleatória $ X $ com uma função de densidade de probabilidade $ f(x) $ definida por partes. Nosso objetivo aqui é calcular a renda média nessa localidade. Para isso, vamos usar o conceito de esperança matemática ou valor esperado, que nos dá a média ponderada de todas as possíveis rendas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de densidade de probabilidade (f.d.p.). Ela nos diz a probabilidade de a variável aleatória $ X $ assumir um valor dentro de um intervalo específico. Para calcular a renda média, usamos a fórmula da esperança matemática:
No nosso caso, como $ f(x) = 0 $ para $ x < 0 $ e $ x > 6 $, podemos simplificar os limites da integral para $ 0 $ a $ 6 $:
Passo 3
A função $ f(x) $ está definida em duas partes:
-
Para $ 0 \leq x < 2 $:
f(x) -
Para $ 2 \leq x \leq 6 $:
0 <= x < 2
Então, vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a esses intervalos:
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral:
Calculando cada termo:
Assim, avaliando de $ 0 $ a $ 2 $:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Calculando cada termo:
Assim, avaliando de $ 2 $ a $ 6 $:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter a renda média:
Resposta
A renda média nessa localidade é de aproximadamente 2,47 mil reais.