Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a. X com f.d.p.
f(x)=cc 0, & x<0 110 x+110, & 0 <= x<2 -340 x+920, & 2 <= x <= 6 0, & x>6
Qual a renda média nessa localidade?

Passo 1

Então, temos um exercício de estatística sobre distribuição de renda em uma localidade. A renda é representada pela variável aleatória $ X $ com uma função de densidade de probabilidade $ f(x) $ definida por partes. Nosso objetivo aqui é calcular a renda média nessa localidade. Para isso, vamos usar o conceito de esperança matemática ou valor esperado, que nos dá a média ponderada de todas as possíveis rendas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de densidade de probabilidade (f.d.p.). Ela nos diz a probabilidade de a variável aleatória $ X $ assumir um valor dentro de um intervalo específico. Para calcular a renda média, usamos a fórmula da esperança matemática:
X
No nosso caso, como $ f(x) = 0 $ para $ x < 0 $ e $ x > 6 $, podemos simplificar os limites da integral para $ 0 $ a $ 6 $:
E[X] = integral-infty^+infty x cdot f(x) , dx

Passo 3

A função $ f(x) $ está definida em duas partes:
  1. Para $ 0 \leq x < 2 $:
    f(x)
  2. Para $ 2 \leq x \leq 6 $:
    0 <= x < 2
Então, vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a esses intervalos:
f(x) = 110x + 110

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^2 x ( 110x + 110 ) dx = integral0^2 ( 110x^2 + 110x ) dx
Calculando cada termo:
integral 110x^2 , dx = 110 cdot x^33 = x^330
integral 110x , dx = 110 cdot x^22 = x^220
Assim, avaliando de $ 0 $ a $ 2 $:
0

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral2^6 x ( -340x + 920 ) dx = integral2^6 ( -340x^2 + 920x ) dx
Calculando cada termo:
integral -340x^2 , dx = -340 cdot x^33 = -x^340
integral 920x , dx = 920 cdot x^22 = 9x^240
Assim, avaliando de $ 2 $ a $ 6 $:
2

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter a renda média:
E[X] = 715 + 2 = 715 + 3015 = 3715 approx 2,47 milhares de reais

Resposta

A renda média nessa localidade é de aproximadamente 2,47 mil reais.

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