Suponham que a variável aleatória contínua bidimensional
tenha sua função densidade de probabilidade (FDP) conjunta dada por:
em que
. Encontre a FDP (identificando-a, caso conhecida):
© Condicional de
.
© Condicional de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício fala sobre variáveis aleatórias contínuas, especificamente sobre uma variável bidimensional
com uma função densidade de probabilidade (FDP) conjunta dada. O que a gente precisa encontrar aqui é a FDP condicional de
dado que
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a FDP condicional
pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui,
é a FDP conjunta que a gente já tem, e
é a FDP marginal de
, que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Para achar
, vamos integrar a FDP conjunta
em relação a
sobre todo o espaço de
. Ou seja:
Passo 4
Vamos agora substituir a expressão da FDP conjunta nessa integral:
Passo 5
Observamos que a parte que depende de
dentro da exponencial é
. Isso se parece com a função densidade de uma distribuição normal. Na verdade, se considerarmos
, isso sugere que
dado
segue uma distribuição normal.
Passo 6
De fato, completando a integral, percebemos que
simplifica para uma função que depende apenas de
, e isso nos leva a concluir que a condicional
é uma distribuição normal com média 0 e variância
. Ou seja:
Resposta
A FDP condicional de
dado
é uma distribuição normal com média zero e variância
. Em fórmula:
Ou simplificando: