Suponham que a variável aleatória contínua bidimensional (T, Y)^top tenha sua função densidade de probabilidade (FDP) conjunta dada por:
f(t, y)=y^(n-1) / 2raizpi n 2^(n+1) / 2 Gamma(n / 2) exp -(t^2+n2 n) y I(-infty, infty)(t) I(0,+infty)(y)
em que n in1,2, ldots. Encontre a FDP (identificando-a, caso conhecida):
© Condicional de T mid Y=y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício fala sobre variáveis aleatórias contínuas, especificamente sobre uma variável bidimensional (T, Y)^top com uma função densidade de probabilidade (FDP) conjunta dada. O que a gente precisa encontrar aqui é a FDP condicional de T dado que Y = y, ou seja, fT|Y=y(t).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a FDP condicional fT|Y=y(t) pode ser calculada usando a fórmula:
fT|Y=y(t) = f(t, y)fY(y)
Aqui, f(t, y) é a FDP conjunta que a gente já tem, e fY(y) é a FDP marginal de Y, que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Para achar fY(y), vamos integrar a FDP conjunta f(t, y) em relação a t sobre todo o espaço de t. Ou seja:
fY(y) = integral-infty^+infty f(t, y) , dt

Passo 4

Vamos agora substituir a expressão da FDP conjunta nessa integral:
fY(y) = integral-infty^+infty y^(n-1)/2raizpi n , 2^(n+1)/2 Gamma(n/2) exp-(t^2+n2n) y dt

Passo 5

Observamos que a parte que depende de t dentro da exponencial é exp-t^2 y2n. Isso se parece com a função densidade de uma distribuição normal. Na verdade, se considerarmos T|Y=y, isso sugere que T dado Y=y segue uma distribuição normal.

Passo 6

De fato, completando a integral, percebemos que fY(y) simplifica para uma função que depende apenas de y, e isso nos leva a concluir que a condicional T|Y=y é uma distribuição normal com média 0 e variância ny. Ou seja:
T|Y=y sim N(0, ny)

Resposta

A FDP condicional de T dado Y = y é uma distribuição normal com média zero e variância ny. Em fórmula:
fT|Y=y(t) = 1raiz2pi ny exp(-t^22 cdot ny)
Ou simplificando:
fT|Y=y(t) = raizy2pi n exp(-y t^22n)

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