Seja um vetor aleatório (X1, X2)^top com a seguinte função geradora de momentos (FGM) conjunta:
M(t1, t2)=E[e^t1 X1+t2 X2]=(1-beta t2)^-alpha exp [mu(e^t1-1)]
A partir da FGM dada em (1), calcule a correlação entre X1 e X2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de estatística que envolve funções geradoras de momentos (FGM). O objetivo é calcular a correlação entre duas variáveis aleatórias, $ X_1 $ e $ X_2 $, a partir da FGM conjunta fornecida. Para isso, precisaremos entender como derivar momentos como a média, variância e covariância a partir da FGM.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função geradora de momentos conjunta $ M(t_1, t_2) $ nos permite encontrar os momentos de $ X_1 $ e $ X_2 $ através de derivadas parciais. Especificamente:
  • A média de $ X_1 $ é a primeira derivada parcial de $ M $ em relação a $ t_1 $, avaliada em $ t_1 = 0 $ e $ t_2 = 0 $.
  • A média de $ X_2 $ é a primeira derivada parcial de $ M $ em relação a $ t_2 $, avaliada em $ t_1 = 0 $ e $ t_2 = 0 $.
  • A covariância entre $ X_1 $ e $ X_2 $ é a segunda derivada mista de $ M $ em relação a $ t_1 $ e $ t_2 $, avaliada em $ t_1 = 0 $ e $ t_2 = 0 $, subtraída do produto das médias de $ X_1 $ e $ X_2 $.
  • As variâncias de $ X_1 $ e $ X_2 $ são encontradas pelas segundas derivadas parciais de $ M $ em relação a $ t_1 $ e $ t_2 $, respectivamente, menos o quadrado das suas médias.

Passo 3

Vamos começar calculando a média de $ X_1 $. A FGM conjunta é dada por:
X1
A média de $ X_1 $ é:
M(t1, t2) = (1 - beta t2)^-alpha exp[mu (e^t1 - 1)]
Calculando a derivada:
X1
Avaliando em $ t_1 = 0 $ e $ t_2 = 0 $:
E[X1] = partial Mpartial t1|t1=0, t2=0

Passo 4

Agora, vamos calcular a média de $ X_2 $:
X2
Calculando a derivada:
E[X2] = partial Mpartial t2|t1=0, t2=0
Avaliando em $ t_1 = 0 $ e $ t_2 = 0 $:
partial Mpartial t2 = alpha beta (1 - beta t2)^-alpha - 1 exp[mu (e^t1 - 1)]

Passo 5

Vamos agora calcular a covariância entre $ X_1 $ e $ X_2 $:
X1
Primeiro, calculamos a segunda derivada mista:
X2
Avaliando em $ t_1 = 0 $ e $ t_2 = 0 $:
Cov(X1, X2) = partial^2 Mpartial t1 partial t2|t1=0, t2=0 - E[X1] E[X2]
Então:
partial^2 Mpartial t1 partial t2 = alpha beta (1 - beta t2)^-alpha - 1 mu e^t1 exp[mu (e^t1 - 1)]

Resposta

A correlação entre $ X_1 $ e $ X_2 $ é zero.

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