Seja um vetor aleatório
com a seguinte função geradora de momentos (FGM) conjunta:
A partir da FGM dada em (1), calcule a correlação entre
e
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de estatística que envolve funções geradoras de momentos (FGM). O objetivo é calcular a correlação entre duas variáveis aleatórias, $ X_1 $ e $ X_2 $, a partir da FGM conjunta fornecida. Para isso, precisaremos entender como derivar momentos como a média, variância e covariância a partir da FGM.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função geradora de momentos conjunta $ M(t_1, t_2) $ nos permite encontrar os momentos de $ X_1 $ e $ X_2 $ através de derivadas parciais. Especificamente:
- A média de $ X_1 $ é a primeira derivada parcial de $ M $ em relação a $ t_1 $, avaliada em $ t_1 = 0 $ e $ t_2 = 0 $.
- A média de $ X_2 $ é a primeira derivada parcial de $ M $ em relação a $ t_2 $, avaliada em $ t_1 = 0 $ e $ t_2 = 0 $.
- A covariância entre $ X_1 $ e $ X_2 $ é a segunda derivada mista de $ M $ em relação a $ t_1 $ e $ t_2 $, avaliada em $ t_1 = 0 $ e $ t_2 = 0 $, subtraída do produto das médias de $ X_1 $ e $ X_2 $.
- As variâncias de $ X_1 $ e $ X_2 $ são encontradas pelas segundas derivadas parciais de $ M $ em relação a $ t_1 $ e $ t_2 $, respectivamente, menos o quadrado das suas médias.
Passo 3
Vamos começar calculando a média de $ X_1 $. A FGM conjunta é dada por:
A média de $ X_1 $ é:
Calculando a derivada:
Avaliando em $ t_1 = 0 $ e $ t_2 = 0 $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a média de $ X_2 $:
Calculando a derivada:
Avaliando em $ t_1 = 0 $ e $ t_2 = 0 $:
Passo 5
Vamos agora calcular a covariância entre $ X_1 $ e $ X_2 $:
Primeiro, calculamos a segunda derivada mista:
Avaliando em $ t_1 = 0 $ e $ t_2 = 0 $:
Então:
Resposta
A correlação entre $ X_1 $ e $ X_2 $ é zero.