Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a. com f.d.p.
b) Qual a renda média nessa localidade?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) da renda em uma localidade específica e pede para calcular a renda média dessa localidade. Para isso, vamos precisar entender como calcular a média de uma variável aleatória contínua usando a função de densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a renda média (ou valor esperado) de uma variável aleatória contínua E[X] = integral-infty^+infty x cdot f(x) , dx é calculada pela integral de multiplicado pela função de densidade em todo o domínio de . Ou seja:
No nosso caso, como fora do intervalo , precisamos integrar apenas nesse intervalo.
Passo 3
A função de densidade f(x) = x10 + 110 está definida em dois trechos:
De f(x) = 920 - 3x40 a E[X] = integral0^2 x ( x10 + 110 ) dx + integral2^6 x ( 920 - 3x40 ) dx :
De a :
Então, vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a esses intervalos:
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral ( integral0^2 x ( x10 + 110 ) dx = integral0^2 ( x^210 + x10 ) dx a = 110 integral0^2 x^2 dx + 110 integral0^2 x dx ):