Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a. com f.d.p.
b) Qual a renda média nessa localidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) da renda em uma localidade específica e pede para calcular a renda média dessa localidade. Para isso, vamos precisar entender como calcular a média de uma variável aleatória contínua usando a função de densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a renda média (ou valor esperado) de uma variável aleatória contínua é calculada pela integral de multiplicado pela função de densidade em todo o domínio de . Ou seja:
No nosso caso, como fora do intervalo , precisamos integrar apenas nesse intervalo.

Passo 3

A função de densidade está definida em dois trechos:
  1. De a :
  2. De a :
Então, vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a esses intervalos:

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral ( a ):
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:
Segunda Integral ( a ):
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 5

Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter a renda média:

Resposta

A renda média nessa localidade é aproximadamente 2,467 mil reais.

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