Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a. X com f.d.p.
f(x)= x10+110, & 0 <= x <= 2 920-3 x40, & 2
b) Qual a renda média nessa localidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) da renda em uma localidade específica e pede para calcular a renda média dessa localidade. Para isso, vamos precisar entender como calcular a média de uma variável aleatória contínua usando a função de densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a renda média (ou valor esperado) de uma variável aleatória contínua E[X] = integral-infty^+infty x cdot f(x) , dx é calculada pela integral de multiplicado pela função de densidade em todo o domínio de . Ou seja:
No nosso caso, como fora do intervalo , precisamos integrar apenas nesse intervalo.

Passo 3

A função de densidade f(x) = x10 + 110 está definida em dois trechos:
  1. De f(x) = 920 - 3x40 a E[X] = integral0^2 x ( x10 + 110 ) dx + integral2^6 x ( 920 - 3x40 ) dx :
  2. De a :
Então, vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a esses intervalos:

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral ( integral0^2 x ( x10 + 110 ) dx = integral0^2 ( x^210 + x10 ) dx a = 110 integral0^2 x^2 dx + 110 integral0^2 x dx ):
= 110 [ x^33 ]0^2 + 110 [ x^22 ]0^2
Integrando termo a termo:
= 110 ( 83 - 0 ) + 110 ( 42 - 0 )
Calculando as integrais:
= 830 + 420 = 415 + 15 = 415 + 315 = 715
Substituindo os limites:
integral2^6 x ( 920 - 3x40 ) dx = integral2^6 ( 9x20 - 3x^240 ) dx
= 920 integral2^6 x dx - 340 integral2^6 x^2 dx
Segunda Integral ( = 920 [ x^22 ]2^6 - 340 [ x^33 ]2^6 a = 920 ( 362 - 42 ) - 340 ( 2163 - 83 ) ):
= 920 (18 - 2) - 340 (72 - 83)
Integrando termo a termo:
= 920 times 16 - 340 times ( 216 - 83 )
Calculando as integrais:
= 14420 - 340 times 2083
Substituindo os limites:
= 14420 - 20840 = 7.2 - 5.2 = 2
Simplificando:

Passo 5

Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter a renda média:
E[X] = 715 + 2 = 715 + 3015 = 3715 approx 2.467 milhares de reais

Resposta

A renda média nessa localidade é aproximadamente 2,467 mil reais.

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