Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a. com f.d.p.
b) Qual a renda média nessa localidade?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) da renda em uma localidade específica e pede para calcular a renda média dessa localidade. Para isso, vamos precisar entender como calcular a média de uma variável aleatória contínua usando a função de densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a renda média (ou valor esperado) de uma variável aleatória contínua é calculada pela integral de multiplicado pela função de densidade em todo o domínio de . Ou seja:
No nosso caso, como fora do intervalo , precisamos integrar apenas nesse intervalo.
Passo 3
A função de densidade está definida em dois trechos:
De a :
De a :
Então, vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a esses intervalos:
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral ( a ):
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:
Segunda Integral ( a ):
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 5
Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter a renda média:
Resposta
A renda média nessa localidade é aproximadamente 2,467 mil reais.