O tempo adequado de troca, X, de um amortecedor de certa marca em automóveis, sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável contínua, medida em anos. Suponha que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) desta variável seja dada pela seguinte expressão
f(x)= x / 4, & 0 <= x <= 2 1 / 8, & 2
c) Qual é o tempo médio adequado para a troca do amortecedor desses automóveis?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o tempo adequado de troca de um amortecedor em automóveis, que é uma variável contínua medida em anos. A matéria que estamos lidando aqui é Probabilidade e Estatística, especificamente com funções densidade de probabilidade (f.d.p.). Para encontrar o tempo médio adequado para a troca do amortecedor, vamos precisar calcular o valor esperado dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função densidade de probabilidade que nos foi dada:
f(x) = x4, & 0 <= x <= 2 18, & 2 < x <= 6 0, & cc
Aqui, “c.c.” significa “caso contrário”, ou seja, fora dos intervalos especificados, a f.d.p. é zero.

Passo 3

Para encontrar o tempo médio (ou valor esperado) dos anos para a troca do amortecedor, usamos a fórmula do valor esperado para variáveis contínuas:
E(X) = integral-infty^+infty x cdot f(x) , dx
No nosso caso, como E(X) = integral0^2 x cdot x4 , dx + integral2^6 x cdot 18 , dx é diferente de zero apenas entre 0 e 6 anos, podemos simplificar a integral:

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral (de 0 a 2):
integral0^2 x cdot x4 , dx = 14 integral0^2 x^2 , dx
A integral de 14 [ x^33 ]0^2 = 14 ( 83 - 0 ) = 812 = 23 é integral2^6 x cdot 18 , dx = 18 integral2^6 x , dx , então:
18 [ x^22 ]2^6 = 18 ( 362 - 42 ) = 18 (18 - 2) = 168 = 2
Segunda integral (de 2 a 6):
A integral de é , então:

Passo 5

Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter o valor esperado:
E(X) = 23 + 2 = 23 + 63 = 83 approx 2,666 anos

Resposta

O tempo médio adequado para a troca do amortecedor desses automóveis é aproximadamente 2,67 anos.

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