O tempo adequado de troca, , de um amortecedor de certa marca em automóveis, sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável contínua, medida em anos. Suponha que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) desta variável seja dada pela seguinte expressão
c) Qual é o tempo médio adequado para a troca do amortecedor desses automóveis?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o tempo adequado de troca de um amortecedor em automóveis, que é uma variável contínua medida em anos. A matéria que estamos lidando aqui é Probabilidade e Estatística, especificamente com funções densidade de probabilidade (f.d.p.). Para encontrar o tempo médio adequado para a troca do amortecedor, vamos precisar calcular o valor esperado dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função densidade de probabilidade que nos foi dada:
f(x) = x4, & 0 <= x <= 2 18, & 2 < x <= 6 0, & cc
Aqui, “c.c.” significa “caso contrário”, ou seja, fora dos intervalos especificados, a f.d.p. é zero.
Passo 3
Para encontrar o tempo médio (ou valor esperado) dos anos para a troca do amortecedor, usamos a fórmula do valor esperado para variáveis contínuas:
E(X) = integral-infty^+infty x cdot f(x) , dx
No nosso caso, como E(X) = integral0^2 x cdot x4 , dx + integral2^6 x cdot 18 , dx é diferente de zero apenas entre 0 e 6 anos, podemos simplificar a integral:
Passo 4
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.