O tempo, em horas, que um computador de certa marca funciona, sem apresentar problemas, é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p.)
b) Calcule o tempo médio (ou tempo esperado) que o computador funciona sem apresentar problemas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o tempo que um computador funciona sem dar problemas, representado pela variável aleatória . A função densidade de probabilidade (f.d.p.) dessa variável é dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é Probabilidade e Variáveis Aleatórias, especificamente sobre valor esperado ou tempo médio. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de uma variável contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado. Ele representa a média ponderada de todos os possíveis valores que a variável aleatória pode assumir, levando em conta a probabilidade de cada valor. Matematicamente, para uma variável contínua, o valor esperado é dado por:
Como nossa função é zero para , podemos simplificar a integral para:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral. Esse tipo de integral é típica para a distribuição exponencial, onde . No nosso caso, .
Sabemos que para a distribuição exponencial, o valor esperado é dado por:
Passo 4
Substituindo o valor de :
Isso significa que, em média, o computador funciona 100 horas sem apresentar problemas.
Resposta
O tempo médio que o computador funciona sem apresentar problemas é de 100 horas.