O tempo, em horas, que um computador de certa marca funciona, sem apresentar problemas, é uma variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p.)
f(x)= 1100 cdot e^-x / 100, & x >= 0 0, & x<0
b) Calcule o tempo médio (ou tempo esperado) que o computador funciona sem apresentar problemas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o tempo que um computador funciona sem dar problemas, representado pela variável aleatória f(x)= 1100 cdot e^-x / 100, & x >= 0 0, & x<0 . A função densidade de probabilidade (f.d.p.) dessa variável é dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é Probabilidade e Variáveis Aleatórias, especificamente sobre valor esperado ou tempo médio. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de uma variável contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado. Ele representa a média ponderada de todos os possíveis valores que a variável aleatória E[X] = integral-infty^infty x cdot f(x) , dx pode assumir, levando em conta a probabilidade de cada valor. Matematicamente, para uma variável contínua, o valor esperado é dado por:
E[X] = integral0^infty x cdot 1100 e^-x / 100 , dx
Como nossa função é zero para , podemos simplificar a integral para:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. Esse tipo de integral é típica para a distribuição exponencial, onde E[X] = 1lambda . No nosso caso, .
Sabemos que para a distribuição exponencial, o valor esperado é dado por:

Passo 4

Substituindo o valor de E[X] = 11100 = 100 :
Isso significa que, em média, o computador funciona 100 horas sem apresentar problemas.

Resposta

O tempo médio que o computador funciona sem apresentar problemas é de 100 horas.

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