O tempo, em horas, que um computador de certa marca funciona, sem apresentar problemas, é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p.)
b) Calcule o tempo médio (ou tempo esperado) que o computador funciona sem apresentar problemas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o tempo que um computador funciona sem dar problemas, representado pela variável aleatória . A função densidade de probabilidade (f.d.p.) dessa variável é dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é Probabilidade e Variáveis Aleatórias, especificamente sobre valor esperado ou tempo médio. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de uma variável contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado. Ele representa a média ponderada de todos os possíveis valores que a variável aleatória pode assumir, levando em conta a probabilidade de cada valor. Matematicamente, para uma variável contínua, o valor esperado é dado por:
Como nossa função é zero para , podemos simplificar a integral para:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. Esse tipo de integral é típica para a distribuição exponencial, onde . No nosso caso, .
Sabemos que para a distribuição exponencial, o valor esperado é dado por:

Passo 4

Substituindo o valor de :
Isso significa que, em média, o computador funciona 100 horas sem apresentar problemas.

Resposta

O tempo médio que o computador funciona sem apresentar problemas é de 100 horas.

Exercícios relacionados

O tempo adequado de troca, , de um amortecedor de certa marca em automóveis, sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável contínua, medida em anos. Suponha que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) desta variável seja dada pela seguinte expressão
c) Qual é o tempo médio adequado para a troca do amortecedor desses automóveis?
O tempo adequado de troca, , de um amortecedor de certa marca em automóveis, sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável contínua, medida em anos. Suponha que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) desta variável seja dada pela seguinte expressão
a) Qual a probabilidade de um automóvel, sujeito às condições descritas acima, necessitar de troca entre 1 e 3 anos de uso?
Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a. com f.d.p.
b) Qual a renda média nessa localidade?
Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a. com f.d.p.
a) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a