Suponha que a central telefônica de uma empresa de grande porte recebe em média 3 chamadas cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que a central recepcione 2 ou menos chamadas em um intervalo de 2 minutos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A central telefônica de uma grande empresa recebe, em média, 3 chamadas a cada 4 minutos. Queremos descobrir qual é a probabilidade de receber 2 ou menos chamadas em um intervalo de 2 minutos. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que acontecem de forma aleatória em um determinado período de tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a taxa de chamadas por minuto. Sabemos que são 3 chamadas a cada 4 minutos. Então:
lambda = 3 chamadas4 minutos = 0,75 chamadas por minuto

Passo 3

Agora, como queremos a taxa para 2 minutos, multiplicamos a taxa por minuto pelo número de minutos:
lambda' = 0,75 times 2 = 1,5 chamadas em 2 minutos

Passo 4

Usaremos a fórmula da Distribuição de Poisson para encontrar a probabilidade de receber exatamente k chamadas:
P(k) = e^-lambda' times (lambda')^kk!
Onde:
  • é a constante de Euler (~2,71828)
  • é a taxa média de chamadas em 2 minutos
  • é o fatorial de k

Passo 5

Queremos a probabilidade de receber 2 ou menos chamadas, então calculamos P(X <= 2) = P(0) + P(1) + P(2) , e e somamos:

Passo 6

Calculando cada termo:
P(0) = e^-1,5 times 1,5^00! = e^-1,5 times 1 / 1 = e^-1,5 approx 0,2231
P(1) = e^-1,5 times 1,5^11! = e^-1,5 times 1,5 / 1 approx 0,3347
P(2) = e^-1,5 times 1,5^22! = e^-1,5 times 2,25 / 2 approx 0,2510

Passo 7

Somando as probabilidades:
P(X <= 2) = 0,2231 + 0,3347 + 0,2510 approx 0,8088

Resposta

A probabilidade de a central telefônica receber 2 ou menos chamadas em um intervalo de 2 minutos é de aproximadamente 80,88%.

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