Em determinado dia de trabalho, três auxiliares administrativos arquivaram 1324 processos ao todo. Sabendo-se que a quantidade de processos que cada auxiliar arquivou é inversamente proporcional às suas idades, que são 28, 30 e 54 anos, respectivamente, assinalar a alternativa CORRETA:
a) O auxiliar administrativo com 28 anos arquivou 542 processos.
b) O auxiliar administrativo com 30 anos arquivou 504 processos.
c) O auxiliar administrativo com 54 anos arquivou 282 processos.
d) O auxiliar administrativo com 28 anos arquivou 544 processos.
e) O auxiliar administrativo com 54 anos arquivou 504 processos.
a) O auxiliar administrativo com 28 anos arquivou 542 processos.
b) O auxiliar administrativo com 30 anos arquivou 504 processos.
c) O auxiliar administrativo com 54 anos arquivou 282 processos.
d) O auxiliar administrativo com 28 anos arquivou 544 processos.
e) O auxiliar administrativo com 54 anos arquivou 504 processos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três auxiliares administrativos que arquivaram um total de 1324 processos em um dia. A quantidade que cada um arquivou é inversamente proporcional à idade deles, que são 28, 30 e 54 anos. Vamos precisar usar a ideia de proporção inversa para descobrir quantos processos cada um arquivou e, assim, identificar qual das alternativas está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “quantidade de processos é inversamente proporcional às idades”. Isso quer dizer que quanto maior a idade, menos processos a pessoa arquiva, e vice-versa. Na matemática, isso pode ser representado assim:
Onde $ k $ é uma constante de proporcionalidade que precisamos descobrir.
Passo 3
Vamos chamar as quantidades de processos arquivados pelos auxiliares de $ P_1 $, $ P_2 $ e $ P_3 $, respectivamente, com idades de 28, 30 e 54 anos. Então temos:
Passo 4
Sabemos que o total de processos arquivados é 1324. Então, podemos somar as três quantidades:
Substituindo as expressões de $ P_1 $, $ P_2 $ e $ P_3 $:
Passo 5
Vamos somar essas frações. Para isso, precisamos achar um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 28, 30 e 54 é 7560.
Convertendo cada fração:
Somando:
Passo 6
Agora, vamos resolver para $ k $:
Multiplicando ambos os lados por 7560:
Calculando o lado direito:
Então:
Passo 7
Agora que temos $ k $, podemos encontrar cada $ P $:
Mas percebemos que os valores estão muito baixos, o que indica que houve um erro nos cálculos anteriores devido à aproximação. Vamos refazer com mais precisão.
Passo 8
Vamos resolver novamente:
Multiplicando ambos os lados por 7560:
Agora, dividindo ambos os lados por 662:
Passo 9
Agora calculamos cada $ P $:
Resposta
A alternativa correta é a b) O auxiliar administrativo com 30 anos arquivou 504 processos.