Um tubo de canalização de córrego é completamente preenchido por água (massa específica
) sendo que a velocidade de escoamento da água neste tubo é de
. O tubo desce gradualmente até chegar a um ponto 3 m abaixo da posição inicial. Depois da descida, a área do tubo passa a ser duas vezes maior. A pressão absoluta da água no ponto mais alto é
. (a) Qual o valor da velocidade da água na região do tubo após a descida. (b) Qual o valor da pressão manométrica da água no tubo após a descida da água em unidades de m.c.a.?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos um tubo cheio de água com uma certa velocidade inicial. Esse tubo desce 3 metros e, nessa nova parte, a área do tubo passa a ser o dobro da original. Sabemos a pressão absoluta da água no ponto mais alto. Precisamos descobrir duas coisas:
a) Qual a velocidade da água nessa nova região do tubo após a descida.
b) Qual a pressão manométrica da água nesse ponto, expressa em metros de coluna de água (m.c.a.).
Para resolver isso, vamos precisar usar dois conceitos principais da hidrodinâmica: a equação da continuidade e a equação de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da continuidade. Ela nos diz que, em um fluido incompressível como a água, o produto da área da seção transversal do tubo pela velocidade do fluido permanece constante ao longo do tubo. Ou seja:
Onde:
-
e são as áreas nas duas partes do tubo. -
e são as velocidades do fluido nessas partes.
Como a área na segunda parte é o dobro da primeira, podemos escrever
. Vamos usar isso para encontrar
.
Passo 3
Vamos aplicar a equação da continuidade:
Substituindo
:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Agora, resolvendo para
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b) da questão, que envolve a equação de Bernoulli. Essa equação relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos diferentes de um fluido em escoamento. A forma simplificada da equação de Bernoulli é:
Onde:
-
é a pressão, -
é a densidade do fluido, -
é a velocidade, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura.
Como o tubo desce 3 metros,
.
Como
pode ser considerado zero no ponto mais alto,
.
Vamos rearranjar a equação para encontrar
, a pressão no ponto mais baixo.
Passo 5
Aplicando a equação de Bernoulli:
Isolando
:
Substituindo os valores conhecidos:
Vamos calcular cada termo:
Substituindo na equação de
:
Resposta
a) A velocidade da água na região após a descida é de 1,5 m/s.
b) A pressão manométrica da água no tubo após a descida é de 1,532805 × 10⁵ Pa ou 15,6 m.c.a.