Um tubo de canalização de córrego é completamente preenchido por água (massa específica 10^3 kg / m^3 ) sendo que a velocidade de escoamento da água neste tubo é de v1=3 m / s. O tubo desce gradualmente até chegar a um ponto 3 m abaixo da posição inicial. Depois da descida, a área do tubo passa a ser duas vezes maior. A pressão absoluta da água no ponto mais alto é 1,5 times 10^5 Pa. (a) Qual o valor da velocidade da água na região do tubo após a descida. (b) Qual o valor da pressão manométrica da água no tubo após a descida da água em unidades de m.c.a.?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos um tubo cheio de água com uma certa velocidade inicial. Esse tubo desce 3 metros e, nessa nova parte, a área do tubo passa a ser o dobro da original. Sabemos a pressão absoluta da água no ponto mais alto. Precisamos descobrir duas coisas:
a) Qual a velocidade da água nessa nova região do tubo após a descida.
b) Qual a pressão manométrica da água nesse ponto, expressa em metros de coluna de água (m.c.a.).
Para resolver isso, vamos precisar usar dois conceitos principais da hidrodinâmica: a equação da continuidade e a equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da continuidade. Ela nos diz que, em um fluido incompressível como a água, o produto da área da seção transversal do tubo pela velocidade do fluido permanece constante ao longo do tubo. Ou seja:
A1 v1 = A2 v2
Onde:
  • e são as áreas nas duas partes do tubo.
  • e são as velocidades do fluido nessas partes.
Como a área na segunda parte é o dobro da primeira, podemos escrever . Vamos usar isso para encontrar .

Passo 3

Vamos aplicar a equação da continuidade:
A1 v1 = A2 v2
Substituindo A1 v1 = 2A1 v2 :
v1 = 2 v2
Podemos simplificar v2 = v12 dos dois lados:
v2 = 3, m/s2 = 1,5, m/s
Agora, resolvendo para :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b) da questão, que envolve a equação de Bernoulli. Essa equação relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos diferentes de um fluido em escoamento. A forma simplificada da equação de Bernoulli é:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • é a pressão,
  • é a densidade do fluido,
  • é a velocidade,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura.
Como o tubo desce 3 metros, .
Como pode ser considerado zero no ponto mais alto, .
Vamos rearranjar a equação para encontrar , a pressão no ponto mais baixo.

Passo 5

Aplicando a equação de Bernoulli:
P1 + 12 rho v1^2 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Isolando P2 = P1 + 12 rho v1^2 - 12 rho v2^2 - rho g h2 :
12 rho v1^2 = 12 times 10^3 times 3^2 = 4,500, Pa
Substituindo os valores conhecidos:
  • 12 rho v2^2 = 12 times 10^3 times 1,5^2 = 1,125, Pa
  • rho g h2 = 10^3 times 9,81 times (-3) = -29,430, Pa
  • P2 = 1,5 times 10^5 + 4,500 - 1,125 - (-29,430)
  • P2 = 1,5 times 10^5 + 4,500 - 1,125 + 29,430
  • P2 = 1,5 times 10^5 + 32,805 = 1,532,805, Pa
Vamos calcular cada termo:
Substituindo na equação de :

Resposta

a) A velocidade da água na região após a descida é de 1,5 m/s.
b) A pressão manométrica da água no tubo após a descida é de 1,532805 × 10⁵ Pa ou 15,6 m.c.a.

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